2021 Fiscal Year Annual Research Report
Connection problems of hypergeometric functions from the view point of higher dimensional Erdelyi cycles and their intersection numbers
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19K03517
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
三町 勝久 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (40211594)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 超幾何函数 / 複素積分 / 交叉数 / Erdelyiサイクル / 接続問題 / モノドロミー / 複素解析的微分方程式 / 局所系係数のホモロジー |
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| Outline of Annual Research Achievements |
複素解析的線形微分方程式論における接続問題が解けている例は非常に少ないため，Appell, Lauricellaらによる古典的多変数超幾何函数と共形場理論の共形ブロックなどに代表される現代的多変数超幾何函数までを総合的・俯瞰的に考察することによって，一般のn変数で解ける接続問題の例の多くを発見・蓄積し，それらの系統的な整理によって次の段階へ発展させることが本研究の目的であった．
最終年度は，前年度に引き続き，Appellの$F_1$函数のみたす$E_1$方程式に付随する接続問題の（解答の）精密化に注力した．具体的には次の通りである．$E_1$方程式の定義域の実への制限は12個の単連結領域の和となるが，それぞれの連結成分が接する3重点をブローアップすれば，いずれも5角形となり，その5頂点から二つを選んで行き来する総計$12\times {5\choose 2}=120$組の接続関係（等式の個数は720個）を求めることが基本的な問題となる（と整理できたこと自身，理解の進展である）．この場合の解の基本系における級数解は，2個の$F_1$函数と1個の(Hornの)$G_2$函数で与えられるが，これらの積分表示式は，普通のサイクル2個と，Erdelyiサイクル1個に対応する．そして，これらのサイクルの満たす接続関係をねじれサイクルの交叉数を用いることで求め，結果的に，解の基本系の満たす接続公式を求めた．この計算には，いままでにない交叉関係式が必要であったが，上手く工夫することでなんとか計算できた．この結果を論文にまとめる作業は現在も進行中であるが，部分的には，イタリア・パドヴァでの研究会の報告集（研究会での講演内容とは異なっている）の中の論文として，2022年2月に出版されている（https://pos.sissa.it/383/010/pdf 全73頁）．
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