2019 Fiscal Year Research-status Report
Loewner theory on deformation of universal covering maps
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19K03519
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| Research Institution | Yamaguchi University |
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Principal Investigator |
柳原 宏 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (30200538)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 等角写像 / 普遍被覆写像 / Loewner equation / レブナー方程式 / 変型理論 / 核収束定理 / Fuchs 群 / 双曲計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
レブナー理論とは複素平面内の双曲的な単連結領域の変形を扱うものであり, 対応する等角写像の変形を微分方程式で記述,制御することを可能とする. このレブナー理論は20世紀初等に導入され, 古典的とみなされていたが, 21世紀になり統計物理・共形場理論への応用が見出され, さらに2012年には関連する方程式を全て統合・一般化する統一レブナー理論が提唱された.
本研究課題の先行研究により, レブナー理論において取り扱う対象を等角(=単射正則)写像から, 正則普遍被覆写像に拡張することが可能であることが示されている. 本研究課題では従来の単射正則写像の場合には生じないが, 正則普遍被覆写像にまで理論が拡張された際に生じる様々な現象についての考察を行うことが目標である. 1例を挙げると, 2つの正則函数を連続なレブナー鎖で結べるか否かという問題がある. 2つの単葉函数の間を連続なレブナー鎖を用いて結ぶことは, 像領域である単連結領域の間に包含関係があればつねに可能である. しかしながら2つの正則普遍被覆写像の間を連続なレブナー鎖を用いて結ぶことは, たとえ像領域に包含関係があっても一般には不可能である. 最近になって, 像領域の補集合の連結成分に着目することにより, 連結度が有限の場合に限るが, 2つの正則被覆写像を連続レブナー鎖で結べるための必要十分条件を発見することができた. これは新しく得られた, 2つの各収束する領域列に関し各番号で共通部分を取って得られる開集合の列について, 成分の核収束に関する一般的な結果を示すことにより導かれた. 思いがけないことに,この条件は解析的な性質ではなく, 単に補集合の連結成分に関する純位相的な性質である. 1変数函数論では多変数函数論よりも位相的な性質との関連が深いというよく知られた経験則の1例と考えられる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
現在,関連する論文を3本研究雑誌に投稿していて, 審査中である. 大変残念であるがこの為に研究発表欄の雑誌論文のところに結果を記載することができなかった. 次年度には記載が出来ると思う.
有限連結の場合に限るが, 2つの正則被覆写像を連続レブナー鎖で結べるための必要十分条件を発見することができた. これは研究を進めていく際の重要なステップであると考えている. またこのように現在までに得られた結果については研究集会等で口頭発表を行うことが出来ている.
上記のような理由から研究の進捗状況についてはおおむね順調に推移していると考えている.
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| Strategy for Future Research Activity |
1. 連結度が有限という仮定を省いた時に, 2つの正則被覆写像について,連続レブナー鎖で結べるための必要十分条件を求めること. 現在のところ, 同値な条件を得ることはかなり難しいと感じている. このため十分条件,必要条件に限定し考察することも必要かと考えている.
2. 正則普遍被覆写像を連続かつ狭義増加なレブナー鎖に埋め込むことが不可能なとき, 極大であると呼ぶことにする. 正則普遍被覆写像が極大であるための必要十分条件を求めたい. 例えば,像領域の補集合が全不連結,つまり全ての連結成分が1点よりなることが十分条件になるとの予想が出来ているので, これを証明するべく考察を深めて行きたい. 残念なことに全不連結でなくても極大であるような正則普遍被覆写像の反例を構成することが出来ているので, 補集合の全不連結性は少なくも必要条件ではないことが判明している. 補集合の連結成分が1点よりなる場合と, 連続体の場合に分けて考えることが重要になるのではと考えている.
3. 普遍被覆写像には Fuchs 群と呼ばれる離散的な被覆変換群が付随する. 本研究は普遍被覆写像を時間とともに動かす時の挙動を調べるものであるから,付随する被覆変換群も時間とともに変化する. 普遍被覆写像の変化の仕方が微分方程式により記述されるので, 付随するFuchs群もやはり微分方程式により記述されると予想される. この微分方程式を導くことを考察する.
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| Causes of Carryover |
当該年度末である令和2年の1月から3月にかけて東京への学会出張を1件と, 東京学芸大学の山田陽名誉教授を招聘する計画を立てていたが, COVID-19の為に学会自体が開催されなくなり,また招聘もできなくなってしまった.
現在,COVID-19による外出等の自粛が次第に緩和の方向に向かう, もしくは緩和へ向けての戦略を政府と各自治体で練られている. まだ予断を許さない時期であるが, 自粛が緩められたらまず山田陽名誉教授を招聘したいと考えている. また出張等をしなくてもZoom などを用いて他大学の研究者との研究打合せや交流が出来るように webカメラ, ペンタブレットなどの入力機器を購入したり, 研究室やゼミ室のネット環境, 特に無線LANのルータなど WiFi環境を強化して遠隔地との接続が容易に行えるようにしたい.
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