2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K03521
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| Research Institution | Kumamoto University |
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Principal Investigator |
木村 弘信 熊本大学, 大学院先端科学研究部(理), 名誉教授 (40161575)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 超幾何函数 / Hemite行列積分 / holonomic系 / Grobner基底 / 隣接関係式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目標はGauss の超幾何函数とその合流型函数の一般化としてGel’fand と申請者によって導入されたGrassmann 多様体 Gr(2,N) 上の一般超幾何函数の 積分表示をHermite行列積分の形で拡張し，これらを統御する holonomic系の構築と非線形可積分系との関係を明らかにし， Lie 群論(対称錐の幾何)の視点か ら特殊関数論 を構築することとしている。 今年度は，Gr(2,4) 上の一般超幾何函数の積分表示をHermite行列積分の形で拡張したものの満たす微分方程式，そのholonomy性の研究及びLauricella超幾何函数の隣接関係の研究を行なった. 得られた知見は以下の通りである.
(1) Gr(2,4) 上の4の任意の分割に対するGelfand超幾何函数を n次のHerimite行列に関する積分として拡張した超幾何函数に対して，その満たす微分方程式系を導出した．また，微分方程式を与える微分作用素が生成する微分作用素環のイデアルのGrobner基底を計算しそれらがholonomic系でそのrankが 2^nであることを示した．これらはGauss, Kummer, Bessel, Hemite-Weber,Airy関数の拡張に相当している．
(2) n変数Lauricella超幾何函数F_A,F_BについてGelfand超幾何函数の立場から考察しそれらがGr(n+1,2n+2)の余次元 n の同じstratumにおける超幾何函数であることを示し，その隣接関係を与える微分作用素のなすLie環の構造を決定した．さらに隣接関係式を具体的に与える統一的な手法を与えた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最初の本研究の計画の目標には到達していないが， 長い間証明できていなかったHermite行列積分で定義されるHemite-Weber, Airy函数の拡張の満たす微分方程式を導出することができ，その微分作用素たちの生成する微分イデアルのGrobner基底を計算することにより，そのholonomy性が証明できた．加えてGauss, Kummer, BesselのHermite行列積分への拡張について，既にFaraut-Koranyiらが与えていた方程式を別の方法で導出できた．
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| Strategy for Future Research Activity |
今までと同様にRadon変換の視点から， 行列積分で定義される超幾何関数の研究をさらに深化させたい. 函数を特徴付ける微分方程式系を得ることやそのholonomic性， 解空間の次元，解空間の基底の決定が重要である. また，現在扱っているのはA型単純Lie群(代数群)に付随するHermite対称空間であるGrassmann多様体上のRadon 変換による超幾何函数である.他のHermite対称空間についても超幾何微分方程式がTanisakiによって考察されている.この場合に解の積分表示の具体形と関連 する位相幾何学的な問題や概均質ベクトル空間におけるb函数との関連を詳しく調べてみたい.
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| Causes of Carryover |
コロナウイルスの蔓延により，前年度まで研究集会への参加や研究連絡に伴う出張ができず，旅費が全然使用できなかったことが最大の原因である.今年度には状況 がある程度改善したため，研究集会への参加，外国出張ができ今年度分の科研費は順調に使用できた．次年度はさらに活発に研究集会等に参加し研究を進展させたい．
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