2020 Fiscal Year Research-status Report
Potential theory for parabolic equations and related function spaces
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19K03523
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| Research Institution | Osaka City University |
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Principal Investigator |
西尾 昌治 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (90228156)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
下村 勝孝 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (00201559)
竹内 敦司 東京女子大学, 現代教養学部, 教授 (30336755)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 関数空間 / 再生核 / ベルグマン空間 / ブロッホ空間 / 放物型方程式 / 熱方程式 / 多重調和関数 / 多重放物型方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は、解のなす関数空間の性質を詳細に解明することによって、放物型方程式を研究することを目的としたものである。
取り扱う方程式は線形の方程式なので、考察対象としては、ヒルベルト空間やバナッハ空間といった完備な線形空間を主に取り上げることになるが、非負値解のなす凸錐を考察することも非常に有効であり、正値調和関数との関連であらわれるマルチン境界の理論の放物型方程式版についての研究は本研究のテーマの１つである。
当該年度においては、分数冪のラプラシアンを含む放物型作用素のイテレイションを考え、その作用素に関連した関数空間であるブロッホ型の空間について詳細な研究を行なった。そのために研究協力者として、岐阜大学の菱川洋介氏、山田雅博氏を迎え共同研究の形で研究をすすめた。その結果、バイパラボリックブロッホ空間を一般化することに成功し、その空間に関する再生公式を確立することができた。得られた結果は日本数学会年会において発表するとともに、論文としてまとめて投稿し、学術雑誌 Hiroshima Math. J. において掲載されることが決定している。また、応用として、バイパラボリックベルグマン空間の指数が１の場合の双対空間の特徴づけが得られた。今後の研究の進展が期待されるところである。
また、ここで取り扱われている放物型方程式は確率論的にはジャンプ型確率過程と密接に関連している。研究分担者の竹内敦司はその方向で研究をすすめている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究代表者が中心となってすすめた研究については、昨年度、初年度に得られた成果をまとめて多くの口頭発表をおこなったが、当該年度では、それらをさらに発展させて論文にまとめた。現在掲載が決定しているものが２件あり、本研究申請時から計画されていた方向に向けて順調に研究が進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究を発展させるために重要な役割を果たしてきたセミナーの開催が、予期せぬ病気の世界的な流行のために激減し、2020年度は研究交流が滞ってしまった。まだまだ予断を許さない中、ようやく感染対策の方法が確立されつつある。そこで、今後は用心しながらもできるだけ活発に研究交流を行っていきたいと考えている。
また、具体的な研究内容に関しては、当該年度の研究実績の概要で述べたように bi-parabolic ベルグマン空間の双対空間が bi-parabolic ブロッホ空間として特徴付けられた。しかし、もう一段自然な形が望まれるところであり、その方向で研究を進展させることにより bi-parabolic から poly-parabolic へのさらなる一般化が期待できる。もちろん感染予防に気を配りながら、研究打ち合わせを積み重ねることによって研究を発展させていきたい。
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| Causes of Carryover |
疫病の突然の世界的流行を受けて、遠距離の移動の自粛が求められる中、予定していた研究交流が滞る結果となってしまった。そのため旅費として予定ていた支出を次年度以降に繰り越すこととなった。感染対策の方法論が確立されつつあるので、次年度以降は、セミナーを再開するなど、研究交流を活発化させ、大いに研究を進展させていきたいと考えている。
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