2019 Fiscal Year Research-status Report
Research on construction of new inequalities representing uncertainty relations and their applications
| Project/Area Number |
19K03525
|
|---|
| Research Institution | Josai University |
|---|
Principal Investigator |
柳 研二郎 城西大学, 理学部, 客員教授 (90108267)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 不確定性関係 / トレース不等式 / 正線型作用写像 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
この科学研究費においては2つの目的があった．１つは従来の不確定性関係を表す不等式はHeisenberg の不確定性関係や Schrodinger の不確定性関係などのように積型のものがほとんどであるが、これを和型のものや積型のものとは異なったものとして表せないかという基本的な疑問に基づいた問題提起である．もともと積型で表現される理由は証明で Schwarz の不等式を用いるためであるので、Schwarz の不等式を用いずにある種の不確定性関係を表す不等式を導けないであろうかということである．１つのヒントはノルムの満たす精密な不等式を導くという方法がある．三角不等式が有名であるが、この不等式はもっと精密化できると考えられている．それに関連した結果も多く得られているので、それらを参考にして新しいノルム不等式を取得したい．２つ目は従来の不確定性関係を表す不等式は概してトレース不等式であるが、これをトレース型正線型写像に拡張すればどのような形の不等式が得られるであろうかという問題提起である．不等式の形は成分が作用素であるようなある種の行列不等式に相当する．したがって二重構造をもつ作用素不等式としてとらえることができる．また作用素が可換か非可換かによって扱いが複雑になり用いる道具立ても異なってくる．さらに非トレース型正線型写像の場合はもっと予測不能になり、困難になる．
この２つの問題提起について限定的ではあるがある結果が得られた．１つは量子通信路を表すクラウス表現を用いた非エルミート作用素をオブザーバブルとしたときの和型不確定性関係である．他はトレース型正線型写像に関する限定的な不確定性関係である．Heisenberg や Schrodinger の不確定性関係の拡張版である．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初計画していたトレースをトレース型正線型写像に拡張して不確定性関係が限定的ではあるが得られた．トレース型でない正線型写像に対してはどのような不等式として表現できるかについて現在研究中である．また和型の不確定性関係については量子通信を表現するクラウス表現に用いられる非エルミート作用素についてのある結果がえられているが、さらに発展した形の不等式を考慮中である．
|
| Strategy for Future Research Activity |
不確定性関係はある種のトレース不等式であるが、もっと一般的に作用素不等式としてとらえ関連する不等式の精密化や拡張もあわせて視野に入れて解明することに興味があるので、作用素不等式について研究を継続する計画である．
|
