2022 Fiscal Year Annual Research Report
Spectral theory for generalized Sturm-Liouville operators and its randomization
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19K03526
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| Research Institution | Keio University |
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Principal Investigator |
南 就将 慶應義塾大学, 医学部(日吉), 教授 (10183964)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Sturm-Liouville 作用素 / ランダム作用素 / シュレーディンガー作用素 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
（１）ランダム性を持たない Sturm-Liouville 作用素のスペクトル理論に関する過去の研究資料を収集・分析し、その理論を一般化された係数を持つ Sturm-Liouville 作用素に拡張する作業を続けており、現在も継続中である。今後はポテンシャル項が行列値の超関数である場合も視野に入れてこの作業を進める計画である。
（２）一般論の整備と並行して、減衰因子を持つホワイトノイズをポテンシャル項とするシュレーディンガー作用素を具体例として取り上げ、そのスペクトルを解析した。ホワイトノイズが通常のランダム関数である場合は Kotani-Ushiroya (1988) が詳しく解析しているが、ホワイトノイズの場合もスペクトルの正の部分については同じであることがほぼ確認できた。すなわち減衰因子が二乗可積分でない場合は、スペクトル軸の低エネルギー部分に稠密な点スペクトルが現れる。高エネルギー部分には特異連続スペクトルが現れると考えられるが、その証明はまだ完全ではない。また、減衰因子が二乗可積分である場合にスペクトルの正の部分が絶対連続であることを示すことができた。一方、ポテンシャル項が減衰する通常の関数である場合は関数解析の定理から、スペクトルの負の部分が離散的であり、作用素は下に有界であることがわかるが、ホワイトノイズの場合にはその定理を適用できない。特に減衰因子が二乗可積分でない場合が困難で、作用素が下に有界であるかどうかも見極めることができなかった。二乗可積分の場合には、作用素が下に有界であることを示すことができたが、2022年度にはさらに、スペクトルの負の部分が離散的であり、固有値の系列がゼロ以外の集積点を持たないことを証明できた。その方法はランダムな固有値方程式の解の漸近挙動を解析することによるもので、従来の関数解析の枠組み（摂動論）には含まれない。
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