2021 Fiscal Year Research-status Report
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19K03528
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 特異代数曲線 / テータ関数 / ソリトン / 頂点作用素 / KP方程式 / 網目状構造 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度、一昨年度の研究成果をもとに代数曲線の退化に伴うKP方程式のテータ関数解の退化について研究し次のような成果を得た。1. 一般の非特異代数曲線に対応するKP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させると特異点（多重点）何個かを持つ特異代数曲線に対応する解が生成されることを示した。2. 任意のソリトン行列に対応するソリトン解は、広田型と呼ばれる特別なソリトン行列に対応するソリトン解の極限として得られることを示した。
昨年度までの研究で、代数曲線を退化させたときに得られるテータ関数解の極限と頂点作用素の関係が見えてきた。さらに、ある解に頂点作用素を作用させるとその解を背景とするソリトン解が得られることが特別な解の場合に観察された。1の結果は、これらの観察に基づき、頂点作用素の作用の幾何学的意味を明らかにしたもので、重要な結果である。この結果は、テータ関数解の中には、準周期的構造とソリトン解の網目状構造が共存していることを示唆しているが、その様子を解析し具体的に解のシミュレーションを行うことは今後の大きな課題である。2は各ソリトン解に退化するテータ関数解を作る問題に関係している。これもテータ関数解とソリトン的網目状構造の関係を理解するための手段として研究していたものである。2の結果から、一般のソリトン解を得るには通常2重点のみを持つ代数曲線に退化するような代数曲線の退化を考え、それをさらに2の結果の手順に従って退化させればよいことが分かった。さらに、2の結果はソリトンの共鳴構造を完全に決定したものでその点でも重要である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
KP方程式の一般解をテータ関数解で近似する方向の研究についてはあまり進展がなかった。一方、代数曲線の退化に伴うテータ関数解の退化を調べる研究は、佐藤グラスマン多様体を使う方法がうまく機能して順調に進展した。後者に重点を置いて研究することにはしていたが、全体を総合してやや遅れていると判断した。
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| Strategy for Future Research Activity |
KP方程式のタウ関数の対数微分を佐藤グラスマン多様体の点から決定する公式については、KdVの場合の先行研究の吟味と、タウ関数の加法定理の応用を柱として研究を進める。ただ軸足は、進展著しいテータ関数解の退化の研究に移行する。
テータ解の退化については、テータ解に頂点作用素を作用させた解について、トロピカル極限などの考えを用いて準周期解の網目状構造が理論的に示せるか調べる。さらに準周期解の時間発展で網目状構造の相転移のようなことが起こるのかどうかについても調べてゆく。また、一般の広田型のソリトン解を、空間曲線に対応する解の退化で構成するこについても研究する。
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| Causes of Carryover |
COVID-19の影響で、対面での国内外の研究会出席、海外研究者招聘などが出来ず、旅費の支出がなかったことが理由である。
COVID-19の影響は今年度も続くと予想されるため、今年度の使用計画としては、オンライン研究環境のさらなる整備のための機器（パソコンとその周辺機器）の購入、コンピュータシミュレーションのためのソフトウェア購入、必要な文献の購入、そして状況が許せば研究打ち合わせのための国内旅費などへの使用を考えている。余った場合はコロナ後の研究に備え次年度に繰り越す。
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Research Products
(1 results)
