可積分系のタウ関数と代数曲線

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03528
• Research Institution: Tsuda University
• Principal Investigator: 中屋敷 厚 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: KP方程式 / テータ関数解 / ソリトン解 / 特異代数曲線 / 頂点作用素 / 佐藤のグラスマン多様体 / ねじれのない層 / 射影スキーム

Outline of Annual Research Achievements

代数曲線の退化に伴うKP方程式の解の退化を中心にして研究を行った。特に昨年度に引き続き、KP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させてできる解に対応する代数曲線について研究した。昨年度の研究で、このような解は元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線の何点かを同一視して得られる特異代数曲線に対応することを示した。ただ結果を論文にまとめるにあたり、再検討した結果、このような主張をするためには、「特異代数曲線に対応する」ということのより正確な数学的定式化が必要であることが判明した。今年度の研究ではこの定式化について研究した。Mumfordによる可環微分作用素と代数曲線の対応の定式化、それを発展させた村瀬による可環微分作用素環の幾何学的分類に関する研究が参考になることが分かり、それを基に次のような結果を得た。

1.得られた解に対応する佐藤のグラスマン多様体の点を固定する可換環の決定, 2.その可換環に存在する自然なフィルター付けを用いた射影スキームの構成、3. その射影スキーム上の階数1のねじれ無しの連接層の構成、4. その連接層のアフィン開集合上の切断の空間を佐藤のグラスマン多様体に埋め込んだ点に対応するKP方程式の解が考えている解に一致することの証明、5. 元になるテータ関数解に対応する非特異代数曲線が、このように構成された射影スキームの正規化になることの証明。

以上の結果を昨年度の結果に組み込んで現在論文を執筆中である。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

特異代数曲線に対応するKP方程式の解の研究で、結果の定式化の研究に丸1年間かかったのは、当初の計画の想定外であったためと、佐藤のグラスマン多様体の一般の点に対応する代数曲線の構成について進展がなかったためである。

Strategy for Future Research Activity

KP方程式のテータ関数解に頂点作用素を作用させて得られる解は背景がテータ関数解であるようなソリトン解であることが昨年度の研究で確認されたのであるが、背景の波動とソリトン解の波動の相互作用、特に位相のずれ、の計算、および最近Sturmfelsを中心とするドイツのグループによって研究されている代数曲線のトロピカル極限を用いたテータ関数の極限の研究との関係の解明、が現時点で最も興味のある重要な研究方向であると考えられるため、その方向に絞って研究を推進する。

Causes of Carryover

コロナ禍で対面の研究会への出席や研究連絡のための出張、研究者招聘を控えたこと、およびオンライン研究のための機材は教育用に準備した機材で代用できたため新規に購入の必要がなかったこと、が大きな理由である。

次年度は、可能なら対面での研究会出席、および研究情報交換のため国内の研究者訪問および招聘を考えており、そのための旅費支出を予定している。今年度が最終年度のため、予算が余った場合は返還する予定である。