Tau functions of integrable systems and algebraic curves

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03528
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12010:Basic analysis-related
• Research Institution: Tsuda University
• Principal Investigator: Nakayashiki Atsushi 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (10237456)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: KP 方程式 / 特異代数曲線 / ソリトン / 準周期解 / テータ関数 / 頂点作用素 / 佐藤のグラスマン多様体 / 浅水波

Outline of Final Research Achievements

KP equation is an equation which describes shallow water waves. Quasi-periodic solutions and soliton solutions are especially interesting two class of solutions among various solutions of the KP equation. Quasi-periodic solutions are described by theta functions of non-singular algebraic curves. We study the limits of quasi-periodic solutions when non-singular algebraic curves degenerate to curves with singular points. We have obtained the following results. A certain class of limits of quasi-periodic solutions are obtained by the action of the vertex operators of the KP hierarchy introduced by Date-Jimbo-Kashiwara-Miwa in 80s.

Free Research Field

可積分系

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

ここ20年間の研究で、KP方程式のソリトン解についての認識は一変し、多様な網目状の形状があり得ること、および、そのような解は現実に浜辺などで観測されることなどが分かってきた。準周期解は、周期無限大の極限でソリトン解になると考えられており、ソリトン解についての新しい認識をもとに、その形状を調べることは興味ある問題である。本研究の結果は、準周期解の中にソリトン解の形状が埋まっていることを示唆しており、準周期解の形状について重要な知見を与えるものである。数学的には、代数曲線のテータ関数のある種の極限の形状を特定したことになり、テータ関数論、代数幾何学の観点からも興味のある結果である。