2021 Fiscal Year Research-status Report
Koornwinder多項式の退化隣接関係と安定性の解析・明示公式の構成
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19K03530
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| Research Institution | Hiroshima Institute of Technology |
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Principal Investigator |
星野 歩 広島工業大学, 工学部, 准教授 (30598280)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | C型Macdonald多項式 / Pieri公式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
C型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)について，一行型と一行型の積を二行型で展開する明示公式（Pieri公式）はLassalleによって得られている．我々はC型的退化koornwinder多項式P(a,-a,c,-c|q,t)について，一行型と一列型の積を鈎型で展開するPieri公式の予想式を構成していた．本年度は準備中の論文において，パラメタをa=t^1/2, c=(qt)^1/2と特殊化して得られるC型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)の場合について，その予想式の証明に至った．
Koornwinder多項式，特に本年度我々が扱っているC型Macdonald多項式は，一行型のものは，ある生成母関数の展開係数として定まる対称Laurent多項式G(x)を用いて構成され，一列型のものは，同様にして定まる対称Laurent多項式E(x)を用いて構成されることが先行研究において分かっている．我々は昨年度，鈎型C型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)をG(x)とE(x)の積で展開した明示公式を，鈎型koornwinder多項式が満たす核関数関係式を用いることで証明していたが（核関数関係式の証明には，我々が構成したKoornwinder作用素のFock表示を利用した），その結果と，G(x)とE(x)の積が満たす非自明な線形関係式やbibasicなq-超幾何級数の和公式，principal specializationと呼ばれるMacdonald多項式の特殊値の計算等を主に用いることにより，上記のPieri公式を証明するに至っている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
C型的退化Koornwinder多項式やC型Macdonald多項式について，昨年度までに次の予想式を記述した．
１．鉤型C型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)を，G(x)とE(x)の積で展開した明示公式
２．C型的退化Koornwinder多項式P(a,-a,c,-c|q,t)について，一行型と一列型の積を鈎型の もので展開したPieri公式
昨年度は１．を，今年度は２．のパラメタを特殊化したC型Macdonald多項式P(t^1/2,-t^1/2,(qt)^1/2,-(qt)^1/2|q,t)についての証明を与えており，パラメタを特殊化しない予想式の証明へ向けて，準備が進んでいると考えられる．
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| Strategy for Future Research Activity |
C型的退化Koornwinder多項式P(a,-a,c,-c|q,t)について，一行型と一列型の積を鈎型で展開係数するPieri公式は，本年度証明したPieri公式の拡張となっており，その証明を与える．そのためには，G(x)とE(x)の積が満たす，パラメタa,cを含む非自明な関係式を構成する必要があり，現在，その構成が進行中である．
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| Causes of Carryover |
次年度使用額が生じた理由：（１）新型コロナウイルス感染症により，多くの国内外の学会や研究集会がオンライン開催となり，予定していた旅費の支出がなかった
（２）購入予定であったワークステーション用のメモリ等の調達が難しかった
次年度の使用計画：コロナ感染症の収束具合によるが，現時点で対面開催を予定している学会や研究集会が増えていることもあり，旅費の支出を計画し，また，ワークステーションのハードではなくソフト面での性能の向上を計画する．
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