2019 Fiscal Year Research-status Report
漸近的表現論と確率モデルのスケール極限の融合的な研究
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19K03532
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
洞 彰人 北海道大学, 理学研究院, 教授 (10212200)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 漸近的表現論 / スケール極限 / 制限誘導連鎖 / 自由確率論 / ヤング図形 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
群の表現の漸近挙動にはさまざまな意味合いがあるが、本研究課題で主として意図するのは、何らかの意味で群のサイズが大きくなる状況である。それが一種の統計的な効果をもたらす。一方、群の作用はしばしば興味深い確率モデルや力学系をうみだす。対称性をもったマルコフ連鎖がそのよい例である。本研究では、具体的な確率モデルをよりどころにし、適切なスケール極限の考察をとおしてそのような群の表現論と確率論の重層的なかかわりあいの様相を探究する。
今年度のもっとも主要な研究対象は、対称群の既約表現の分岐則から生じるヤング図形上の制限誘導連鎖を基にした連続時刻の動的モデルであった。遷移の間の待ち時間の分布をいろいろとりかえることにより、時空のスケール極限の結果として現れるプロファイルの時間発展の様子がどのように変化するかを調べることがテーマである。古典的なフーリエ解析の方法、ボイクレスクの自由確率論（とくに自由キュムラント）、および対称群の既約指標とケロフ多項式をミックスした独自のアプローチで取り組んだ。以前に得たマルコフ過程の場合（待ち時間が指数分布に従う場合）を包括し、拡張した結果が得られた。他方、裾の重い待ち時間分布を課したときには、シャープな極限プロファイルが出現しない等の特異な現象をとらえることができた。この現象のさらなる研究は現在も進行中である。
もう１つの研究対象として、対称群のスピン既約表現の分岐則がうみだす動的モデルの探究に着手した。これは対称群の通常表現の場合と本質的に異なる構造であり、両者の類似と異質さの兼ね合いは興味深い。
今年度中に出版された学術論文はないが、受理されて掲載が決まっているもの１編（共著）と、投稿中のもの１編（単著）がある（ともに査読あり）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究の中身については、おおむね予定どおり順調に進展していると考える。表現論と確率論の「融合的」な研究であること、研究対象が具体的であることを強く意識しており、その方針に沿った一定の進展が得られたと思う。
研究経費の使用の面で見ると、想定よりもだいぶん少ない使用にとどまった。その理由として、次のことが挙げられる。本務の都合により、出張の回数が予定を下回ったこと（さらに今冬の感染症対策もそれに拍車をかけた）、PCの購入を次年度に持ち越したこと。しかし、これらのことは研究の遂行に本質的な悪影響を及ぼした訳ではない。
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| Strategy for Future Research Activity |
本課題の研究は、研究計画調書および交付申請書に記した線から外れることなく、予定どおりに推進していく。表現論と確率論の融合を意図し、群の作用がうみだす確率モデルを主対象として、スケール極限や漸近挙動の解明を進める。具体的には、研究実績の概要欄でも触れたが、制限誘導連鎖の動的モデルにおいて裾の重い待ち時間分布がもたらす特異な現象の詳しい解明をめざす。これと極限プロファイルのゆらぎの尺度との関連にも関心をもっている。また、対称群のスピン既約表現の分岐則から生じる制限誘導連鎖に関わる一連の研究を推進する。
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| Causes of Carryover |
（理由）予定していたPCの購入を次年度に持ち越したこと。本務の都合および感染症対策により、出張の回数が予定よりも少なくなり、自身の旅費の使用額が予定を下回ったこと。
（使用計画）PCの購入は必要であるので、次年度に行う。旅費の使用額については、感染症対策に不透明な要素があるものの、予定どおりを見込んでいる。
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Research Products
(3 results)
