2021 Fiscal Year Annual Research Report
漸近的表現論と確率モデルのスケール極限の融合的な研究
| Project/Area Number |
19K03532
|
|---|
| Research Institution | Hokkaido University |
|---|
Principal Investigator |
洞 彰人 北海道大学, 理学研究院, 教授 (10212200)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
|
| Keywords | 漸近的表現論 / 自由確率論 / ヤング図形 / スケール極限 / 対称群 / 連続時刻ランダムウォーク / 制限誘導連鎖 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
まず、研究期間全体を通じて実施した研究の成果について述べる。漸近的表現論と確率モデルのスケール極限の融合的な研究を推進することが、本研究の課題である。群の表現の分岐則という枝分れ構造の積み重ねがうみだすランダムな現象に注目し、いくつかの異なるスケールをもつ視点に基づく解析を行った。特に、動的なモデルを中心にした。扱ったモデルとしては、ヤング図形から成る統計集団、ヤング図形を状態とする連続時刻のランダムウォーク、プロファイルの極限形状とそのゆらぎの時間発展、群の帰納系の分岐グラフとそのマルチン境界、帰納極限群の指標と分岐グラフ上の調和関数が挙げられる。漸近的表現論と確率モデルの解析を表裏一体のものと認識して双方向的な研究を進めたことが特色である。言い換えれば、確率モデルの極限挙動の解明に応用するために漸近的表現論の道具を開発することと、表現の漸近挙動を明らかにするために確率論の極限定理に新工夫を加えることの両面のアプローチを重視した。ランダム行列や作用素環論に見られるように、巨大な代数的構造の中に自由確率論がしばしば普遍的な骨格として浮かび上がる。本研究では、とりわけ対称群の既約指標にかかわるケロフ多項式を通して、自由確率論の方法が本質的な役割を果たした。この自由確率論との関わりも本研究の特徴の１つと言えよう。対称群の既約表現の分岐則を反映する最も重要なモデルが、いわゆる制限誘導連鎖である。これに関する研究の深化、特に非マルコフ的なモデルへの進展は、大きな成果であると言える。
最終年度（令和３年度）に実施した研究の成果としては、通常表現の枠組を超える射影表現にかかわるモデルへの拡張と、シューア・ワイル双対性に関係する情報理論のある種のモデルの取り扱いが挙げられる。ともに漸近的表現論の今後の発展に資することができそうな方向性をもつテーマであると考えている。
|
| Remarks |
令和２、３年度における研究成果の一部をプレプリントの形でarXivにて公開している。
|
