2019 Fiscal Year Research-status Report
作用素論に基づいた量子情報理論における幾何学的構造の解明とその応用
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19K03542
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| Research Institution | Osaka Kyoiku University |
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Principal Investigator |
瀬尾 祐貴 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (90439290)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤井 淳一 大阪教育大学, 教育学部, 教授 (60135770)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 作用素不等式 / Tsallis相対エントロピー / 正作用素 / 作用素べき平均 / 作用素幾何平均 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまで研究してきた作用素平均・作用素不等式の基礎的な結果を、2012年にまとめ、Mond-Pecaricが共同で開発していたJensen不等式の逆不等式をより一般的な枠組みで捉えることにより、その方法をMond- Pecaric の手法として確立し、ヒルベルト空間上の作用素不等式や作用素ノルム不等式などもう一段階、上の視点から考察を行い、様々な結果を統合、整理した。さて、近年、工学、情報幾何学、量子情報理論などの分野の作用素論的な枠組みの構築の密接な関連の必要性が喫緊の課題として挙がっているが、情報幾何学や量子情報理論におけるさまざまな幾何学的内容は、ヒルベルト空間上の作用素の枠組みの中では、必ずしも具体的に明らかになっていない。また、行列や作用素の文脈での様々なエントロピーやダイバージェンスなどの評価を中心とした研究も進んでいるとは言えない。本研究では、初年度に、この課題に取り組むために、2変数版の作用素ノルムを用いたAndo-Hiai型不等式のn-変数版幾何平均への拡張とその応用について、一定の成果を得た。作用素べき平均を含む一般的な変形平均の概念を踏まえて、作用素ノルム及び最小スペクトルを用いたAndo-Hiai型不等式の形式を一般化し、さらに、その逆不等式をカントロヴィッチ係数などを用いて評価をした。また、全体的な整合性のためにその補完型不等式も考察した。それにより、情報幾何学や量子情報理論において重要なノルム不等式などの評価を得ることができた。さらに、行列空間そのものの解析のため、行列幾何平均を用いたコーシー・シュワルツ不等式を利用して、Jensen型不等式、カントロヴィッチ型不等式、ヘルダー型不等式などのさまざまな行列不等式を得ることができた。それらはもとの古典的な不等式の拡張になり、その逆不等式も含めて統一的に扱うことができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究計画にあるように、この初年度は、研究分担者である藤井淳一氏との共同研究を通じて、作用素論的な視点で、情報幾何学や量子情報理論の枠組みを明確化する土台作りをし、これまで作用素論で築いてきた基礎理論との十分な連携を新しい視点で構築する体制づくりが固まりつつある。また、関連する文献の精査を通して、情報幾何学や量子情報理論と作用素論的な視点でのつながりについて、様々な観点で議論をしている。それらは、毎週行われている大阪教育大学での藤井正俊名誉教授の主催する数学セミナーにおいて、発表し、様々な観点で意見交換をしている。研究実績の概要でも述べたように、それらを踏まえて、すでにいくつかの研究成果を得ている。Tsallis相対エントロピーの量子化については、梅垣による梅垣相対エントロピーが初期に提唱され、その1変数拡張として、Tsallis相対エントロピーが考えられた。また、研究分担者である藤井と亀井による相対作用素エントロピーの概念は実に30年以上前に提唱され、それを用いた相対エントロピーはBSエントロピーもしくは、FKエントロピーと呼ばれているが、古市らにより、Tsallis型相対エントロピーとして新しい衣装をまとい、1変数版の拡張として、その性質が研究された。その変数の負版を考察するにあたり、Kian氏との共同研究で得た負版の安藤-日合不等式が有効に作用し、２つのTsallis型相対エントロピーの新しい評価を得ることができた。作用素論、特に作用素不等式でのこれまでの知見がよく作用したと考えている。しかし、本来ならば、変数がすべての実数で２つのTsallis型相対エントロピーがどのようなふるまいをしているのかの考察は作用素論的には、極めて興味深い課題であるが、そこはまだ未解決である。
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| Strategy for Future Research Activity |
そのような研究体制と研究成果のもと、申請者のヒルベルト空間上の作用素不等式の視点のもと、量子情報理論におけるダイバージェンスや相対エントロピーは、非可換ゆえに多くの定式化が提唱されている。その相互の違いについて、作用素不等式からの視点で、その作用素のスペクトルの範囲を基準にした評価式を構築したい。相互の評価やその違いは、多様な量子化の提案に対する一つの評価を与えるものと考える。そのことで、幾何学的構造を明らかにしたい。もう少し、具体的に方向性を示したい。研究実績の概要でも述べたように、２つの量子Tsallis型相対エントロピーはもちろん古典的な場合は一致する非可換版であり、その差異についての議論で、作用素論的な枠組みが有効に作用する。現在、すべての変数での評価は未解決であるが、正の数の場合、安藤‐日合型不等式があの有名な古田不等式と関連があることはよく知られていることであるが、最近の議論により、その事実が今回の評価にうまく作用をするのではないかと気づいた。また、量子Renyiダイヴァージェンスの提案も多岐にわたっているが、最近日合によりかなり詳しく相互関係が明らかになった。しかし、相互に関係がない場合もあり、その場合どの程度違いがあるのかという観点に対して、この作用素論的な考察は有効に作用すると考えられる。情報理論における様々な概念において注意される事柄にきちんと対応する作用素論側の定式化をこの2年目においては、さらに精密に定式化する必要があると考えている。また、情報幾何における測地線を含む幾何学的な考察が、行列幾何平均の一般に可逆でない場合の定式化に有効に作用することがわかったが、この方向の進化は情報幾何的な考察の枠組みに、作用素論における新しい取り組みを示唆しているようにも思える。この方向は作用素論における幾何学的構造の解明に役に立つと考えている。
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