2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03545
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| Research Institution | Ehime University |
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Principal Investigator |
伊藤 宏 愛媛大学, 理工学研究科(工学系), 教授 (90243005)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | ディラック作用素 / レゾナンス / シュレーディンガー作用素 / 逆散乱問題 / 波動方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
摩擦を表すポテンシャルをもつ波動方程式の逆散乱問題を考える．この問題は，エネルギーを複素ポテンシャルに含むシュレーディンガー方程式の定常的逆散乱問題と考えることができる．解の遠方での挙動から散乱振幅が定義され，その散乱振幅からもとのポテンシャルを再構成出来るかということを考える．通常のシュレーディンガー方程式の場合には，高エネルギーにおける散乱振幅からボルン近似を用いてポテンシャルを再構成することが出来る．しかし，この問題の場合には，ボルン近似だけでは不十分であり，高エネルギーにおけるレゾルベントの精密な漸近挙動を調べる必要がある．実際，その漸近挙動を解析し，散乱振幅から摩擦項を表すポテンシャルおよび通常のポテンシャルの再構成に成功した．レゾルベントの漸近挙動の解析で鍵となるのは，作用素にある種のゲージ変換を施すことで，別の作用素の問題に帰着させることである．実は，この方法は現在の研究課題（ディラック作用素のレゾナンス分布）にも有効ではないかと考え，現在解析を進めている．遠方で発散するポテンシャルをもつディラック作用素は伸長解析的な複素化によって，非自己共役化され離散固有値のみからなるスペクトル構造をもつ．これらの固有値はレゾナンスと呼ばれ，複素平面におけるその分布を調べることがこの課題の最終目標である．複素化されたディラック作用素のレゾルベントの極がレゾナンスをあらわすので，レゾルベントの解析が本質的である．したがって，レゾルベントの高エネルギー（複素パラメータの絶対値が大きい）での挙動を解析することがレゾナンスの分布の解析につながり，先ほど述べた逆散乱問題で用いたレゾナンスの高エネルギーでの解析手法が有効ではないかと考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
遠方で発散する解析的なポテンシャルをもつディラック作用素のレゾナンスについて研究を進めている．レゾナンスは複素化されたディラック作用素の固有値として定義される．複素化されたディラック作用素はコンパクトなレゾルベントをもち，スペクトルは離散固有値のみからなる．そのため，複素化されたディラック作用素のレゾルベントの解析が重要となる．特に，レゾナンスの分布を考える上では，スペクトルパラメータの絶対値が大きい場合のレゾルベントの挙動が鍵となる．ところが，ある種の変換によって，複素化されたディラック作用素は２種類の相対論的シュレディンガー作用素の直和を主要部にもつ作用素に変換できる．そのため，（１）各相対論的シュレディンガー作用素のレゾルベントの挙動，（２）主要項以外を摂動項とみてそれが結果に少ない影響しか与えない摂動項かそれとも何かを生み出す項なのか，を解析する必要がある．特に，（１）が重要であり，昨年度までの研究では，（１）について大まかな予想は立てていたが，関係する他の文献を調べると，かなり精密な評価が必要であることがわかり，その解決策を模索していた．しかし，今年度の研究では，散乱理論で用いられるレゾルベントの高エネルギーでの挙動の解析手法で，以前研究代表者が用いた方法が有効ではないかと考えた．ディラック作用素の場合と同様に精密なレゾルベントの挙動を調べる必要のある（エネルギ－に依存するポテンシャルをもつ）シュレディンガー作用素のレゾルベントの解析が有効と考え，シュレディンガー作用素の場合に解析を行い，その応用として逆問題の結果を得た．このように，問題であった（１）に関して，有効な解析手法が見つかったことやそれに関する逆問題の結果を得たことから，おおむね順調に進展している，と考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者が主に研究を進めるが，必要に応じて，今年度と同じ３人の研究協力者のアドバイスをオンラインで受けたり，研究協力者と共同研究を行う．zoom などの会議システムを使えない場合には，メールでの情報交換などを行う．コロナ禍が落ち着き，出張をすることが出来るような状況になった場合には，お互い出張することで，対面により，より細かい議論を行う．また，研究集会が対面で開催された場合には，研究協力者や他の研究者と議論を行う．研究集会がオンラインでの開催しか行われない状況の場合には，出張しなくても集会に参加出来るメリットを生かして，関係する多くの研究集会にオンラインで出席して，最新の研究情報を得るようにする．また，愛媛大学での「解析セミナー」の世話人として，セミナーを開催することで他の研究者と交流することで最新の研究に関する知見を得る．
具体的な研究としては，次の２つになる．（１）複素化されたディラック作用素の解析で重要である複素化された相対論的シュレディンガー作用素のレゾルベントの高エネルギー（スペクトルパラメータの絶対値が大きい）での挙動を，ある種のゲージ変換を用いた方法で解析する．その後，剰余項の評価を行い，目的とする複素化されたディラック作用素の固有値（レゾナンス）の分布の解析をおこなう．（２）摩擦項をもつ波動方程式の定常的問題において，散乱振幅の高エネルギー極限からポテンシャルを再構成することが出来たが，その結果を拡張することが出来ないかを考え，論文としてまとめる．
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| Causes of Carryover |
数学の研究の予算では，旅費は大きなウエイトを占める．実際，研究集会や他大学に出張すること，また研究者に来てもらうことで，活発な議論ができ，最新の研究にも触れることができる．対面でなくては概念やアイデアなどの微妙な内容はお互いに伝わりにくい．しかし，該当年度はコロナ禍のために，出張の制限や研究集会のオンライン化により，出張することや外部から研究者に来てもらう機会がなかった．使用額が少なかったのは，それらの旅費を使用できなかっためである．
次年度にコロナ禍が収まり，対面の研究集会の開催や出張が自由に出来るようになれば，積極的に研究集会に参加したり，他の研究者と対面で議論したりすることになるので，多くの旅費が必要になる．一方，もし，コロナ禍が収まらず，該当年度の同じ状況であれば，情報収集のために，多くの文献を購入したり，オンラインでの研究集会への参加や他の研究者との議論のために，オンラインで必要な機材を購入することになる．
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Research Products
(2 results)
