2019 Fiscal Year Research-status Report
Path integrals - Analysis on path space created by time slicing approximation
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19K03547
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
熊ノ郷 直人 工学院大学, 教育推進機構, 教授 (40296778)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 解析学 / 関数方程式論 / 経路積分 / 擬微分作用素 / 数理物理 / 確率論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究の開始となる2019年度は、まず時間分割近似法のアイデアを、環状型（トーラス型）擬微分作用素の方法に適用することから始め、環状型の一般階変数係数放物型方程式の初期値問題に対する基本解を、環状型の相空間経路積分の時間分割近似法で構成した：まず、環状型の一般階変数係数放物型方程式の初期値問題を考えるために、ユークリッド空間型の擬微分作用素を模倣した環状型の擬微分作用素を定義し、その基本となる性質を調べた。特に、ユークリッド空間型の擬微分作用素の多重積の評価を模倣し、環状型の擬微分作用素の多重積の評価を与えた。環状型の擬微分作用素は、位置に関する積分と運動量に関する無限和で定義されるため、環状型の擬微分作用素の多重積は、大きな次元の多重積分と多重無限和になる。この多重積分と多重無限和を、定数の次元乗で評価できることを証明した。さらに、環状型の一般階変数係数放物型方程式の初期値問題において、基本解に対応する相空間経路積分の時間分割近似法の多重積分と多重無限和が、次元によらない定数で評価できることを証明し、さらに、分割の幅をゼロに近づけた場合、位置の終点と運動量の始点に関し、広義一様収束することを証明した。また、この極限となる関数が、放物型方程式の基本解としての性質を満たすことを証明した。
口頭発表として、8月13日にインドのバンガロールのTIFR-CAM（タタ基礎研究所応用数学センター）のセミナー、8月27日に九州大学における第58回実函数論・函数解析学合同シンポジウム（招待講演）、11月22日に韓国のKyonggi大学のセミナー、11月25日に韓国のYonsei大学のセミナー、時間分割近似法による経路積分の私の理論を紹介した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
2019年度の目標は、時間分割近似法を環状型（トーラス型）擬微分作用素の理論に適用し、環状型の一般階変数係数放物型方程式の初期値問題に対する基本解を、環状型の相空間経路積分の時間分割近似法で構成することであった。研究実績としては、2019年度の目標を達成した点において、順調にして進展していると言える。しかし、2020年度以降、より一般的な汎関数に対する経路積分や偏微分方程式への応用を考える上で、予定していた環状型擬微分作用素に詳しい研究者との研究連絡がCOVID-19（新型コロナウィルス）などの影響で中止に追い込まれた点が残念である。2020年度以降は、2019年度に一般階変数係数放物型方程式の初期値問題における基本解の構成で培った計算方法を一般化していき、時間分割近似法で環状型の相空間経路積分が定義できる、なるべく広い汎関数の集合を構成していく予定である。
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| Strategy for Future Research Activity |
2019年度の結果により、少なくとも環状型（トーラス型）の一般階変数係数放物型方程式の基本解は、環状型の相空間経路積分の時間分割近似法で構成できることが保証された。2020年度以降は計画どおり、基本解で培った計算方法を一般化し、なるべく多くの汎関数に対して、環状型の相空間経路積分が構成できるように、汎関数の集合を構成していく。環状型の擬微分作用素に対する相空間型経路積分の時間分割近似法は、大きな次元の多重積分と多重無限和になるので、次年度はまず、この多重積分と多重無限和を、定数の次元乗で評価できるように汎関数に条件を加え、次に、この多重積分と多重無限和の主部と剰余項を、次元によらない定数で評価できるように汎関数に条件を加え、さらに時間分割の幅がゼロに近づくとき時間分割近似法が収束するように、汎関数に条件を加えていき、汎関数の集合を構成していく予定である。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス（COVID-19）の影響により、2019年度に予定していた環状型擬微分作用素に詳しい研究者との研究連絡や研究発表ができなくなった。この研究者との研究連絡は、今後、一般的な環状型の相空間経路積分や偏微分方程式への応用を考える上で鍵となってくるため、2020年度以降にCOVID-19が収まったあとのなるべく早い時期に、この研究者と研究連絡をする予定である。
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