2023 Fiscal Year Research-status Report
Path integrals - Analysis on path space created by time slicing approximation
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19K03547
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| Research Institution | Kogakuin University |
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Principal Investigator |
熊ノ郷 直人 工学院大学, 教育推進機構(公私立大学の部局等), 教授 (40296778)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 解析学 / 関数方程式論 / 経路積分 / 擬微分作用素 / 数理物理 / 確率論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度までの研究において、時間分割近似法を用いて、トーラス上の変数係数高階放物型方程式に対応し、一般的な汎関数を振幅とするトーラス型の相空間経路積分の理論を構成してきた。今年度は、さらに時間分割近似法によるトーラス型の相空間経路積分の理論を発展させるため、トーラス上の高階放物型方程式以外の偏微分方程式の場合にもトーラス型の相空間経路積分の時間分割近似法で基礎となる計算が可能かどうかを検討した。トーラス上の擬微分作用素については、ユークリッド空間上の擬微分作用素と類似した議論を展開した多くの先行研究がある。このため、ユークリッド空間上の擬微分作用素を先行研究で定義されたトーラス上の擬微分作用素に変換することで、ユークリッド空間上の変数係数高階放物型方程式に対応する相空間経路積分で行った議論を、トーラス上の変数係数高階放物型方程式に対応する相空間経路積分の議論に変換することができた。しかし、他の偏微分方程式を考えた場合、対応する作用素が擬微分作用素ではなく、フーリエ積分作用素となり、先行研究のトーラス上の擬微分作用素は適用することができず、フーリエ積分作用素の設定を変えて何度も計算をやり直すことになった。しかし、設定を変えて試してみた結果、ユークリッド空間上とは少し異なる設定で、トーラス上のフーリエ積分作用素を定義すれば、時間分割近似法で基礎となる計算が可能であることに気づいた。トーラス上の変数係数高階放物型方程式に対応する相空間経路積分の理論について、10月に早稲田大学での数理セミナー、2月にベルギーのGhent大学での国際会議「Pseudo-Differential Operators and Related Topics」、3月に日本大学での研究集会「Recent topics in algebraic analysis」で講演した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目標は、トーラス上の変数係数高階放物型方程式に対応し、一般的な汎関数を振幅としてもつトーラス型の相空間経路積分を構成すること、そして、その相空間経路積分が標準的な積分の性質に類似した性質を満たすこと、つまり、その相空間経路積分において、積分や極限との順序交換、経路の平行移動や線形変換などの性質を調べることであった。これについては達成できているため、研究はおおむね順調に進展していると言える。しかし、トーラス型の相空間経路積分の理論の展開や応用につなげるために重要となる、偏微分方程式論や確率論などの国際会議や研究集会への参加、海外の研究者との研究連絡が十分にはできなかった。様々な分野の研究者からの意見や刺激を得て、理論の展開や応用を多角的に検討する機会が得られなかったことが残念である。
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| Strategy for Future Research Activity |
偏微分方程式や確率論などの国際会議や研究集会、セミナーに参加し、研究発表や研究調査を行う。特に、トーラス上の変数係数高階放物型方程式に対応し、一般的な汎関数を振幅とするトーラス型の相空間経路積分の理論に関する研究成果を発表し、様々な分野の研究者から意見や刺激を得る。さらに、これまでに私が定式化してきた時間分割近似法によるユークリッド空間型の相空間経路積分の理論の計算と対比させたり、トーラス上の変数係数高階放物型方程式以外の偏微分方程式に対応する相空間経路積分の時間分割近似法の計算を検討したりして、時間分割近似法の計算を多方面から見直し、時間分割近似法によるトーラス型の相空間経路積分の理論のさらなる展開や応用を検討する。
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| Causes of Carryover |
トーラス上の変数係数高階放物型方程式に対応し、一般的な汎関数を振幅とするトーラス型の相空間経路積分の数学的理論に関しては構成できたが、偏微分方程式論や確率論などの国際会議や研究集会に参加して、研究発表や調査を通じて、様々な分野の研究者から意見や刺激を得るという計画部分が十分には遂行できなかった。次年度は、偏微分方程式論や確率論などの国際会議や研究集会に積極的に参加し、時間分割近似法によるトーラス型の相空間経路積分の理論に関する研究発表を行い、様々な分野の研究者から意見や刺激を得て、時間分割近似法の計算を多方面から見直し、時間分割近似法によるトーラス型の相空間経路積分の理論のさらなる展開や応用を検討する予定である。
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