2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03548
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| Research Institution | Tsuda University |
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Principal Investigator |
三上 敏夫 津田塾大学, 学芸学部, 教授 (70229657)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 確率最適輸送問題 / Schroedingerの問題 / Wasserstein距離 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
初期終期確率分布を固定した場合の確率最適輸送問題の典型例であるSchroedingerの問題を考える。Schroedingerの問題で終期分布を固定した場合に、初期分布の関数としてオーダー２のWasserstein距離に関してリプシッツ連続であることを示した。この定理の証明には前年度証明したSchroedingerの問題の半凹性を用いた。また、拡散係数が定数の場合に、Schroedingerの問題の最小解である調和経路過程のドリフトベクトルがマルチンゲールになることを示した。研究代表者は、2004年に、Schroedingerの問題の最小解である調和経路過程のゼロ雑音極限が存在し、特に、ドリフトベクトルが時空間変数に関する2乗平均収束の意味で収束し、その極限がコスト関数が２次関数の時のMongeの問題を解くことを示した。上記の研究結果により、この収束が時間に関しては広義一様収束の意味での収束に改善できることがわかった。証明の鍵は、ドリフトベクトルがマルチンゲールであれば、ドリフトベクトルの２乗の時間についての広義一様な上限の平均がDoobの不等式により定数倍を除いてドリフトベクトルの最終時間の２乗の平均で抑えられること、さらに、Jensenの不等式から、それがその先の時間でのドリフトベクトルの２乗の平均の時間に関する平均値で抑えられることである。
最終時間でのドリフトベクトルの２乗平均収束は証明できていないが、これができれば、上記の結果を時間について一様収束の意味で証明できることになる。また、このアプローチは拡散係数が定数の場合にしか適応できないが、拡散係数が変数係数の場合にもこの定理自体は証明できる可能性がある。これらは、次年度に向けての新たな課題となった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
前年度の研究結果を用いて新たな研究成果を得ている。また、その研究成果から新たな研究課題が見出されている。
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| Strategy for Future Research Activity |
海外共同研究者であるKansas大学Jin Feng教授と議論を進め、Schroedingerの問題のゼロ雑音極限において、最終時間でのドリフトベクトルの２乗平均収束を証明する。
拡散係数が変数係数の場合に、今年度証明した定理を拡張する。
今年度なし得なかった台湾国立中央大学のSJ Sheu 教授とのKnothe-Rosenblatt processの存在と一意性の研究について研究を進展させる。
Schroedingerの問題に関する解の半凹性やリプシッツ連続性などの結果を一般の確率最適輸送問題について証明する。
これにより、確率最適輸送問題がある種のマスター方程式を満たすことを示す。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス感染拡大に伴い、国内外の旅行を伴う研究活動が制限されたため次年度使用額が生じた。
次年度は、CanadaのDenverで開催予定の国際会議「Pacific Rim Mathematical Association Congress 2021, December 5-10, 2021」で研究成果について招待講演を行う。また、海外共同研究者を招いての集中的な共同研究を行う。
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Research Products
(3 results)
