2020 Fiscal Year Research-status Report
Quantum toroidal algebras and quantum integrable systems
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19K03549
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
神保 道夫 立教大学, 理学部, 特任教授 (80109082)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | トロイダル量子群 / W代数 / スクリーニング作用素 / qq 指標 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は主に変形W代数におけるスクリーニング作用素の組み合わせ的研究を行った。通常のW代数は、ハイゼンベルグ代数のフォック表現におけるスクリーニング作用素の核の共通部分として定義される。スクリーニング作用素はスクリーニングカレントの積分である。変形W代数の場合でも事情は同様であるが、スクリーニングカレントおよびWカレントは頂点作用素のいくつかの和であらわされることが多く、変形しない場合に比べて構造が単純になって取り扱い易い。また変形W代数の基本カレントと量子アフィン代数のq指標との間には著しい類似性のあることが以前から指摘されているが、これについて系統的な研究はなされてこなかった。本年度の研究ではスクリーニングカレントがフェルミオン的である場合に限定して一般論の定式化を試みた。変形されたカルタン行列にあたるあるクラスの行列から出発して組み合わせ的スクリーニング作用素と組み合わせ的qq指標を導入し、q指標との類似点とともにいくつかの相違点を明らかにした。さらに組み合わせ的qq指標と組み合わせ的Wカレントを頂点作用素で実現した場合に、スクリーニング作用素とWカレントとの交換性が成り立つことを示した。非自明な実例として例外型アフィン超代数D(2,1;a)の場合を考察し、18次元表現を含む有限次元表現、およびベクトル表現とよぶ基本的な無限次元表現のqq指標と頂点作用素による実現を構成した。さらに後者に対応するカレントが、研究代表者らが以前構成した運動の保存量を再現することを示した。この結果は論文として投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初は運動の保存量とoperについての研究を行う予定であり、試行錯誤を重ねたが、現状ではこの方向に多くの困難があって進展させることが出来ていない。そのため方針を転換し、昨年度行った変形W代数の族の構成をとりあげ、qq指標の組み合わせ的側面の組織的な研究に着手した。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度はスクリーニングカレントが同一タイプのフェルミオンであるという最も簡単な状況でqq指標の組み合わせ論を定式化した。より一般にボゾンを含む場合、またスクリーニングカレントがいくつかの頂点作用素の和になる場合など、実例に現れる場合の一般的な考察をさらに進める必要がある。
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| Causes of Carryover |
COVID-19感染症拡大により、本年度は共同研究者の招聘と海外出張をすべてキャンセルした。これらは可能な範囲において翌年度に実施したい。
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