2022 Fiscal Year Annual Research Report
Quantum toroidal algebras and quantum integrable systems
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19K03549
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
神保 道夫 立教大学, 名誉教授, 名誉教授 (80109082)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 量子トロイダル代数 / 運動の保存量 / リー超代数 / シャッフル代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は１）変形W代数の拡張問題、 ２）量子超代数の運動の保存量、の２課題に取り組んだ。
1) gl(n|1)型の変形W代数は量子トロイダルgl(1)代数の表現であるが、 n=1 のときはアフィン ｇl(2), n=2 はBelshadski-Polyakov代数と呼ばれる代数のｑ変形の表現に拡張される。一般の n に対して量子トロイダル gl(1) 代数に新たな頂点作用素を付け加え、n=1,2の場合に類似する代数を構成した。このような拡張問題はより一般的な文脈で興味があり、本年度の研究はその試論である。
２）本研究計画では D(2,1;α）型超代数に付随する量子トロイダル代数の運動の保存量を構成することが一つの目標であったが、本年度はより基本的である gl(m|n) 型について考察した。後者のshuffle代数による実現の中に可換な部分代数を構成し、それが無限変数の多項式環と同型であることを示した。この種の結果はより一般の量子トロイダル代数でも成り立つことが期待され、さらに研究を継続したい。
研究期間全体を通じての成果はW代数の構成とその可換な部分代数（運動の保存量）に関するもので、後者のスペクトルについては進展がなかった。具体的には上記に加えてつぎの成果を得た：a)gl_n型量子トロイダル代数の脇本表現をgl_1型のテンソル積に同型な部分代数に制限したときの分岐則の決定、b)gl_n量子トロイダル代数の余加群となる新しい代数K_nの導入、およびそれを用いたA型以外の変形W代数の統一的記述とその可換な部分代数の構成、c)ある制限のもとにW超代数についてqq指標の代数的基礎と実例の構成。
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