2019 Fiscal Year Research-status Report
Fundamental theory of reaction-diffusion equations with variable coefficients---a panorama in Turing's sight
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19K03557
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高木 泉 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (40154744)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鈴木 香奈子 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (10451519)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式系 / 変数係数 / パターン形成 / 受容体―結合基反応 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
反応拡散方程式系は，化学反応系や生物の発生過程に見られるパターン形成，あるいは生態系の空間的棲み分けなどのモデルとして広く用いられている．そこでは，空間的に一様な状態から自発的に非自明な空間的構造が生まれる機序を理解することが第一義的関心事である．本研究は，一歩進めて，空間的に非一様な環境において，その非一様性から規定される自然な分布以外に，所与の非一様性を乗り越えた新しいパターンが自発的に形成され得るか否かを解明することを目指すものである．
初年度はMarciniak-Czochraが提唱した発生生物学の受容体―結合基結合モデルについて，定数係数の場合に用いられた構成法を変数係数の場合に拡張し，非自明定常解の存在のために係数が満たすべき十分条件を与えた．特に，拡散を無視した場合に得られる空間変数をパラメータとして含む常微分方程式系が，空間変数に応じて単安定から双安定まで変化するような場合にも，非自明定常解が存在することを示した（論文として投稿済み）．
一方，分担者は，従来二元連立の拡散―非拡散系に対して知られていた定常解の不安定性に関する結果を，複数の非拡散系と一本の反応拡散方程式から成る連立系に拡張することを試みた．二元連立系で定常解の不安定性を示すカギとなった，非拡散方程式の非線形項が持つ「自己触媒作用」に対応するものとして，複数の非拡散方程式から定義される線形化行列が満たすべき条件を明らかにした．更に，非一様媒質中のカルシウム派の伝播モデルの進行波解の構成方法の開発に取り組んだ．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
初年度は，GiererとMeinhardtによる活性因子・抑制因子系の定常解の安定性とMarciniak-Czochraの受容体―結合基モデルの両方について研究を行う予定であったが，後者の非自明定常解の存在に関する研究が非常に進展してきたので，こちらに集中することに変更した．前者は来年度の集中課題とすることにした．
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度に受容体―結合基モデルの数値シミュレーションを行うこととしていたが，第二年度に研究支援者を雇用して，より系統的にデータを収集することにする．また，初年度に計画していた活性因子・抑制因子系の定常解の安定性については，第二年度の重点研究課題とする．
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| Causes of Carryover |
本年度，海外の研究協力者を招聘する計画であったが，先方の都合がつかなかったため，旅費に余剰が生じた．また，シミュレーションを学生に依頼するための謝金を用意していたが，適当な学生が見つからなかったため，断念した．幸い，次年度にシミュレーションを担当する大学院生が見つかったので，半年間程度研究支援者として雇用し，より系統的な資料収集をする予定である．また，海外の研究協力者を招く予定である．
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