2020 Fiscal Year Research-status Report
Fundamental theory of reaction-diffusion equations with variable coefficients---a panorama in Turing's sight
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19K03557
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高木 泉 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (40154744)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鈴木 香奈子 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (10451519)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / 変数係数微分方程式 / パターン形成 / 不連続定常解 / 配体－受体モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Turingは，生物の発生過程における形態形成が化学物質の分布パターンによって先導されるという仮説を提唱した．一様な状態から出発し，新たな空間的構造を次々と獲得して行くそれぞれの段階では，空間的に非一様な環境下での反応拡散系が生成するパターンによって先導されることになる．本研究は，非一様性から規定される自然な分布以外に，所与の非一様性を乗り越えた新しい空間的構造が自発的に形成されるか否かを解明することを目指すものである．
今年度，代表者はMarciniak-Czochraが提唱した配体―受体モデルのうち最も単純なものを変数係数の場合に考察した．これは，二つの未知函数に対する線型拡散方程式と非線型常微分方程式とを連立させたもので，拡散方程式に対しては斉次Neumann境界条件を与える．空間次元が一の場合に，次の結果を得た：(i) この系は二つの滑らかな定常解を有し，ともに安定である, (ii) 第三の定常解が存在し，一方の成分は第一種の不連続性を示す，(iii) 拡散率が充分小さいときには，内部遷移層をもつ解が存在する．さらにこれらの定常解の安定性についても考察した．(ii) の解は，所与の一様性を乗り越えた新しい空間構造と解釈することができる．
分担者は，p-Laplacianをもつ反応拡散方程式について，非線型項の性質と定常解の関係性について，通常の拡散の場合との比較において理解を深めた．p の大きさによっては，通常の拡散方程式とは異なる結果となることが分かり，その場合の定常解の具体例を考察した．また，未知函数が二つの拡散－非拡散系で得られていた定常解の不安定性に関する結果を複数の非拡散系と一つの反応拡散方程式からなる連立系に拡張することを試みた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Marciniak-Czochraの受容体－結合基（配体－受体）モデルに定常解の存在について，Lipschitz連続な汎函数に対する峠の補題が適用可能であることを厳密に示し，高次元領域への拡張に道を拓いた．これは大きな収穫であった．
一方，Covid-19の感染拡大に伴い，移動が禁止された時期が続き，当初計画していた小規模国際研究集会の開催を断念せざるを得なかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに得られた一次元空間における定常解についての結果を空間次元が2以上の場合に拡張することを中心課題とする．
海外出張のみならず国内出張も当面の間難しいため，オンラインでの研究連絡を活発に行うようにしたい．また，定常解の構造だけでなく，進行波解の構成など，パターンの動態の理解を深めるために系統的な数値シミュレーションを行いたい．
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| Causes of Carryover |
世界的なCovid-19の蔓延により，国際研究集会の開催を断念せざるを得なかったため，また，国内旅行も制限された時期があり，旅費を執行することができなかった．感染が収束し，往来が可能になり次第，研究集会を開催する予定である．
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