2021 Fiscal Year Research-status Report
Fundamental theory of reaction-diffusion equations with variable coefficients---a panorama in Turing's sight
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19K03557
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
高木 泉 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (40154744)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
鈴木 香奈子 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (10451519)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / 変数係数微分方程式 / パターン形成 / 不連続定常解 / 配体ー受体モデル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Turingは，生物の発生過程における形態形成が化学物質の分布パターンによって先導されるという仮説を提唱した．一様な状態から出発し，新たな空間的構造を次々と獲得して行くそれぞれの段階では，空間的に非一様な環境下での反応拡散系が生成するパターンによって先導されることになる．本研究は，非一様性から規定される自然な分布以外に，所与の非一様性を乗り越えた新しい空間的構造が自発的に形成されるか否かを解明することを目指すものである.
代表者は (1) 引き続き Marciniak-Czochra が提唱した配体―受体モデルのうち最も単純なものを変数係数の場合に考察した．これは，二つの未知函数に対する半線型拡散方程式と非線型常微分方程式とを連立させたもので，拡散方程式に対しては斉次Neumann境界条件を与える．今年度は，空間次元が一の場合に得られていた結果を多次元に拡張した．鍵となるのは不連続非線型項をもつ単独半線型拡散方程式の定常解の存在の証明であるが，これを変分法を用いて行なった．(2) また，定数係数の場合の進行波解の存在を証明することができた．これは，パターンの変化の動態を考察するための基礎定理の一つである．
分担者は，反応拡散系の解の時間大域的挙動に関連して，進行波解の存在について考察した．まず，活性因子ー抑制因子型の反応拡散系において活性因子が基礎生産項をもつ場合を考え，基礎生産項が進行波解の存在とその性質に与える影響を考察した．また，ある感染症の数理モデルについて，感染している人は移動しないという条件を課して得られる拡散―非拡散系による数理モデルを考察した．特に，拡散係数や非線型項の係数が変数の場合に非単調な進行波解の存在についての考察を行った.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Marciniak-Czochraの受容体-結合基(配体-受体)モデルについて，高次元領域における定常解の存在を示すことができた．これは昨年度までに得られていた一次元での結果を拡張したものである．さらに，定数係数の場合の進行波解の存在を証明することができ，このモデルを解析する上での技術的問題の一つが解決された． 一方，Covid-19の感染拡大に伴い，移動が禁止された時期が続き，研究集会の開催を断念せざるを得なかった.
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでに得られた結果を発展させるため，高次元領域での定常解の構造を解明するための方法を開拓する，配体-受体モデルの進行波解の存在を二成分系から四成分系に拡張する，拡散係数や非線型項の係数が変数の場合に非単調な進行波解の存在の証明を試みる，の三点を中心課題として取り組む．さらに，可能な限り対面式の研究集会の開催を追求する．
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| Causes of Carryover |
昨年度予定していた小国際研究集会が Covid-19 の伝染拡大のため開催できなかったため，今年度国内研究集会の開催に変更したが，伝染規模は前年を上回ってしまい，開催を見送らざるを得なかった．本研究課題の最終年度にあたる次年度に，小規模国際研究集会を開催し成果発表の場とすることにした．
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Research Products
(5 results)
