Fundamental theory of reaction-diffusion equations with variable coefficients---a panorama in Turing's sight

2023 Fiscal Year Final Research Report

• Project/Area Number: 19K03557
• Research Category: Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
• Allocation Type: Multi-year Fund
• Section: 一般
• Review Section: Basic Section 12020:Mathematical analysis-related
• Research Institution: Tohoku University
• Principal Investigator: Takagi Izumi 東北大学, 理学研究科, 名誉教授 (40154744)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 鈴木 香奈子 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (10451519)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 反応拡散系 / パターン形成 / 変数係数偏微分方程式 / 不連続定常解 / 受体－配体模型

Outline of Final Research Achievements

Turing proposed that, in reaction-diffusion systems with constant coefficients, spatially non-uniform structures spontaneously formed due to diffusion-driven instability (when two chemicals with different diffusivities react, a spatially uniform state can become unstable). This study has demonstrated that even in reaction-diffusion systems with variable coefficients, to which this principle does not apply, a new stable steady state exists that is separate from the stable steady state inherent to the system, for a class of model systems in developmental biology.

Free Research Field

偏微分方程式論

Academic Significance and Societal Importance of the Research Achievements

自然界に広く見られるパターンが形成される機構を理解する一つが反応拡散系によるモデル化である．この非線型偏微分方程式系の数学解析は，この半世紀のうちに大いに進展して，病状の診断に応用されるまでになっている．しかし，時間とともに複雑さを増していくようなパターン形成に関しては系統的な研究はまだ本格化していない．本研究は，その方向での基礎理論を構築する目的で，係数が空間変数に依存するような簡単な反応拡散系について，定常解の構成方法を開発した．今後の理論の発展の礎となることを期待している．