2020 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
19K03560
|
|---|
| Research Institution | Niigata University |
|---|
Principal Investigator |
山本 征法 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (00600066)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
|
| Keywords | 函数方程式 / 拡散方程式 / 時間大域挙動 / 空間大域挙動 / 特異拡散 / 空間非局所な作用素 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
本研究課題では、発展方程式のうち解の空間遠方での挙動に特別な注意を要するモデルを取り扱う。具体的には跳躍過程に基づく拡散現象や非圧縮性粘性流体の流速など、解の空間遠方での減衰が高次モーメントの有界性に影響を及ぼすほど遅い現象を研究する。当該年度は、こうした方程式のうち特にスケール臨界と呼ばれる、線形の拡散と非線形の移流の効果が釣り合う場合の解の時間大域挙動に関する研究を進めた。その結果、1次元の臨界型走化性方程式の解の挙動が、劣臨界の場合と同様には記述できないことが分かった。走化性方程式とは、タマホコリカビ類に代表される、自らの分泌する化学物質に対する走化性を示す生物群の挙動を記述した方程式であり、一般にKeller-Segel方程式の名で知られている。この方程式については2次元臨界の場合に、(やはり劣臨界の場合とは異なり)解が線形の基本解には漸近せず、Dirac measureを初期値とする一意な自己相似解に漸近することが知られている。当該年度に取り組んだ課題は、この先行研究に着想を得た物である。2次元の臨界方程式はBrown運動にしたがうアメーバの挙動を記述するが、当該研究で取り扱う1次元の臨界問題は、飛翔する昆虫など跳躍過程にしたがう生物の拡散を表す。この様な生物の生息密度は瞬時に遠方まで伝わるが、これは解の漸近近似に必要な高次モーメントの有界性が容易に崩れることを意味する。1次元臨界の場合に解の漸近形を厳密に定義することが今後の課題である。また、2次元の場合と異なり、1次元では臨界・劣臨界・超臨界の3つの現象を取り扱うことが可能であり、それらの場合で解の挙動がどのように異なるのか明らかにするのも今後の重要な課題である。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルス感染症の影響により、対面での研究討論の機会を持つことが出来なかったため。
共同研究者・研究協力者とはオンライン会議システムを用いて頻繁に討論を行ったが、現状では、当該課題の周辺の情報を集めるのに苦慮している。
次年度の研究では、オンライン研究会などで設定されている討論の時間を活用するなどして、より情報収集に努める予定である。
|
| Strategy for Future Research Activity |
当該研究計画の主題である特異拡散現象を理解するためには、確率過程・確率微分方程式の手法が必要である。これらの知見を得るために、エントロピー法・統計力学の専門家であるF. Achleitner氏(ウィーン大学)、A. Jungel氏(ウィーン工科大学)との研究協力を続ける。今後しばらくは新型コロナウイルスの影響で相互訪問が難しいことが予想されるので、オンライン会議システムを活用する。現在取り扱っているモデルは跳躍過程に基づく走化性方程式であるが、実際の生物群の生息密度をモデル化するには統計力学的な視点からの定式化が不可欠である。今後、この観点からも両氏との討論を進める必要がある。
また、可積分性・滑らかさ・周波数分布など、より広い視点で方程式の解を捉えるため、函数空間など枠組みを工夫する必要が生じてきた。この観点からの研究は国内でも広く行われている。当該年度から引き続き、オンライン型の研究集会を通して情報収集と、得られた知見の応用を試みる予定である。
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症への対策として、国外・国内の出張を取りやめ、または延期したため、旅費として申請した経費に未使用額が生じた。なお、研究打ち合わせのために国外の研究機関への短期滞在が必要であるため、感染の収束後に当該経費の大部分を使用する予定である。また、未使用の旅費の一部を計算機の強化に転用する可能性がある。
|
Research Products
(1 results)
