発展方程式の形状と解の時空間構造の相関について

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03560
• Research Institution: Niigata University
• Principal Investigator: 山本 征法 新潟大学, 自然科学系, 准教授 (00600066)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 函数方程式 / 拡散方程式 / 時間大域挙動 / 空間大域挙動 / 特異拡散 / 空間非局所な作用素

Outline of Annual Research Achievements

当該年度は流体方程式の解の挙動に関する研究を行った。この方程式は研究課題の核心である「方程式の形状と解の構造の関連」を捉える上で指標となるものである。具体的には、方程式の非線形項に含まれる空間非局所な作用素により、解の空間減衰の速さに宿命的な制約が生じる。つまり、このモデルは、方程式の形状が解の構造を決定する具体例の一つである。このように方程式に現れる作用素などの形状が解の構造に与える影響を明らかにしようとするのが当該研究課題の主眼である。
当該年度の研究では、長く取り組んできた流体方程式の解の時空間構造についてまとめた。この成果については、近く査読付き学術雑誌などで発表する予定である。
また、同じく重要な研究課題である走化性方程式の解の性質について、研究協力者である杉山裕介氏(滋賀県立大学)との研究討論を行った。その結果、空間次元と拡散の冪のバランスにより、解の時間大域挙動を決定する初期データの成分が異なることが明らかとなった。一般に、初期データが「大きい」ほど走化性方程式の解は爆発しやすいが、この「大きい」が何を意味するかが問題であった。具体的には、初期データの局所的な密度が大きいと爆発する場合と、総質量が大きければ爆発する場合があり、その違いが空間次元と拡散冪のバランスによって決定することが分かった。当該年度は対面による討論が困難な状況であったが、オンラインミーティングシステムを用いて研究討論・情報交換を行った。また、オンラインによる研究集会・セミナーに参加し、研究課題に関連する最新の研究情報を収集した。
なお、当該年度の研究を通して、運用中の計算機システムの性能不足がしばしば問題となった。次年度の早い時期にシステムの更新を図る予定である。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

前年度の研究は新型感染症の影響により、やや遅れていたが、当該年度にはオンラインによる研究会・セミナーが多く開催されるなど、情報収集環境が改善された。
そのため、前年度と比較すると研究を前進させることが出来た。

Strategy for Future Research Activity

当該研究は発展方程式の構造、特に方程式に含まれる特徴的な作用素が解の構造に及ぼす影響を明らかにしようとするものである。これまでの研究ではこの目的達成のため、初等的な実解析の手法を用いてきた。今後の展望としては、エントロピー法や統計力学的な手法の応用が考えられる。また、当該研究で取り扱ってきた走化性方程式は伝統的にはタマホコリカビのコロニー形成のモデルであるが、近年、より広範な走化性現象の解明に向けた改良と分析が進められている。今後はこれらの方程式にも研究対象を拡げる予定である。

Causes of Carryover

新型感染症への対策として、国内・国外出張を取りやめたため、旅費として申請した経費に未使用額が生じた。次年度には状況の改善が見込まれるため、研究打ち合わせや情報収集のための出張でこの経費を使用する予定である。また、未使用額の一部は、能力不足が問題となっていた計算機の更新に使用する予定である。