表面拡散方程式によって時間発展する曲線・曲面の形状と特異性の解析

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03562
• Research Institution: Kobe University
• Principal Investigator: 高坂 良史 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (00360967)
• Co-Investigator(Kenkyū-buntansha): 石井 克幸 神戸大学, 海事科学研究科, 教授 (40232227)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: Willmore流 / 閾値型近似アルゴリズム / 4階線形熱方程式

Outline of Annual Research Achievements

Willmore流によって運動が記述される曲面の閾値型近似アルゴリズムの研究を行った。Willmore流の場合は4階熱方程式に対する基本解のTaylor展開をもとに閾値型近似アルゴリズムが導出できることを2020年度に示したので、2021年度はその近似アルゴリズムにおいて基本解の導関数の展開を導くことによって、閾値関数から得られる閾値集合の境界での閾値関数の勾配評価を得た。また、Willmore汎関数に表面積汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲面についても閾値型近似アルゴリズムを研究し、4階熱方程式に空間変数に関する2階導関数の項を加えた線形4階放物型偏微分方程式の基本解のTaylor展開をもとにすれば、この場合も閾値型近似アルゴリズムが構成できることを示した。さらにWillmore流の場合と同様にしてその閾値関数から得られる閾値集合の境界での閾値関数の勾配評価を導いた。今回得た閾値型近似アルゴリズムは変分的時間離散近似との関係付けが期待できることに気づいたので、現在は曲げエネルギーに長さ汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲線の場合に変分的時間離散近似との関係性をもとにした収束証明を検討している。また、上記の閾値型近似アルゴリズムはHelfrich流(Willmore汎関数に表面積汎関数と体積汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流)によって運動が記述される曲面への応用も期待できるので、それについても現在検討している。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

当初は2021年度に収束証明まで行う予定であったが、近似アルゴリズムの収束先となるWillmore流の可解性が明らかでなく収束証明を得ることができなかったため、進捗状況は「やや遅れている」と判断する。

Strategy for Future Research Activity

今回得た閾値型近似アルゴリズムは変分的時間離散近似との関係付けが期待できることに気づいたので、その考察をもとにまずは曲げエネルギーに長さ汎関数を加えたエネルギー汎関数の勾配流によって運動が記述される曲線の場合に変分的時間離散近似との関係性をもとにした収束証明を試みる。この方法が有効な場合、曲面の場合に関する変分的離散近似をもとにした拘束条件つきWillmore流の弱解理論が必要になるので、変分的離散近似に詳しい東北大学の岡部真也氏に助言を仰ぎつつその点についても研究を進める。

Causes of Carryover

当初は対面での研究集会・セミナーへの参加を予定していたが、コロナ禍で全てオンライン開催になり計上していた旅費を使用しなかったため次年度使用額が生じた。2022年度は徐々に対面での研究集会・セミナーが開催されることが期待されるので、主に研究に関連する研究集会・セミナーに参加するための旅費として使用する。