2020 Fiscal Year Research-status Report
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19K03572
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| Research Institution | Japan Women's University |
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Principal Investigator |
愛木 豊彦 日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 漸近挙動 / 圧縮性弾性体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、「コンクリート中性化過程（マルチスケールモデル）」と「気泡ゴムの水分浸潤過程」、「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」、「圧縮性弾性体」の解析を課題としている。以下、課題ごとに研究実績の概要を述べる。
１．「コンクリート中性化過程（マルチスケールモデル）」について 本課題の研究内容は３次元領域におけるコンクリート中性化過程を記述する数理モデルの解析である。我々が考える水分量保存のモデルは、質量保存の法則を表す非線形放物型方程式と相対湿度と飽和度の関係を表す自由境界問題との連立系である。本年度は、連立系の解析の鍵となる自由境界問題の解の微分可能性を改良することができた。
２．「気泡ゴムの水分浸潤過程」について 気泡ゴムは石油による海洋汚染対策への応用を目指し、その数理モデルが現在研究されている。気泡ゴムにおいては、水分浸潤による膨張が問題となる。本研究では、浸潤過程を記述する自由境界問題に対し、時間無限大での解の漸近挙動を示した。
３．「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」について ここでは、水分の浸潤を既知とする水分の質量保存則との連立系モデルを提案した。また、そのモデルの解の存在と一意性を証明した。この証明では、気泡ゴムの歪みに対する下からの評価から得られる位置を表す（未知）関数の逆関数の存在証明が本質的である。
４．「圧縮性弾性体」について 輪ゴムのような圧縮性弾性体の伸縮運動を記述する常微分方程式モデルの解の存在、および構造保存型数値スキムの解の存在と数値解の収束速度を示した。さらに、常微分方程式モデルから偏微分方程式の一種であるbeam方程式を導出し、これに対する初期値境界値問題の弱解の存在と一意性を証明した。また、数値計算の結果から、数値解の極めて不安定な挙動が観察されたため、安定的な結果が得られる数値解法の開発や不安定性の理論解析が今後の課題として示された。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述の4課題に対する進捗状況を述べる。
１．「コンクリート中性化過程（マルチスケールモデル）」について 解の微分可能性に関する性質を改良した結果を出版するなど、極めて順調に進んでいる。
２．「気泡ゴムの水分浸潤過程」について 本課題は年度当初、取り組む予定ではなかったが、共同研究者であるスウェーデン・カールスタッド大学・Muntean氏より、実際の実験結果を元にした興味深い数値計算結果が示されたため、この問題に以前より取り組んでいた長崎大学・熊崎氏と解の時間無限大の挙動について考察することとした。その結果、解の一様評価を見直すことで、解の時間無限大における発散現象を見出すことができた。
３．「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」について 既に取り組んでいた「非均質な弾性体」の解析から生じたアイデアを用いて、膨張過程を1次元の弾性体の方程式と水分に関する拡散方程式の連立系として表すことができた。この問題の特徴は拡散方程式の係数に未知関数である弾性体方程式の解の逆関数が現れることである。これに対し、歪みの下からの評価を示すことで、逆関数の存在を示し、解の存在と一意性を証明した。
４．「圧縮性弾性体」について 常微分方程式モデルについては、解の存在、数値解の収束等に関する成果を出版することができた。また、数値解については、北海道大学・奥村氏の協力の下、多段階構造保存数値スキムによる数値解析の結果を得ることができた。そして、偏微分方程式モデルについては、オランダ・アイントフォーヘン大学・Anthonissen氏との共同研究として、数値計算結果から様々な未解決問題を発見することができた。この内容については、現在、執筆中である。
このように、研究は進んでいるが、新型コロナウィルスの蔓延のため、当初予定していたスウェーデンへの長期滞在が実施できなかった。
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の4つの課題に対する今後の研究の推進方策を述べる。
１．「コンクリート中性化過程（マルチスケールモデル）」について 本課題は一定の成果をあげることができたので、新たに見つかった課題に取り組む時間を確保するため、本課題に対する研究はひとまず終了する。
２．「弾性体の水分浸潤過程」について 現在のモデルでは、時間が無限大になれば、湿潤領域も無限大になるという実験結果とは相容れない結果が生じてしまう。そこで、実験結果と合致するよう数理モデルにおける自由境界条を解が漸近収束する条件に変更し、その収束を証明する。
３．「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」について 問題を記述する関数の具体例を十分に検討していないので、今後、実験結果を参考に関数に対する仮定を見直す。
４．「圧縮性弾性体」について まずは、均質な素材の動きを記述するために構築した数理モデルの解の存在や一意性を示す。既に、歪みと応力の関係を表す関数が特異点を持たない場合については、弱解の存在・一意性を示すことができているので、これを論文にまとめる。そして、歪みと応力の関係を表す関数が特異点を持つ場合について、弱解の存在は証明済みなので、一意性と強解の存在を示し、時間無限大における解の挙動についても考察する。また、定常解の考察も合わせて進めていく予定である。さらに、オランダ・アイントフォーヘン大学・Anthonissen氏と共同で偏微分方程式の数値解析も引き続き実施する。
上記目標の実現や今後の研究課題発掘のため、スウェーデン・カールスタッド大学のMuntean教授と昨年来定期的に開催しているオンライン・セミナーを今後も継続し、研究交流を推進する。また、新型コロナウィルス感染者増加による現状を踏まえ、予定していた海外との研究交流活動もオンラインによる開催方式を採用するなど、研究に遅延が発生しないようにする。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス発生の影響で、４ー８月に予定していたスウェーデンへの長期研究滞在が中止となり、そのための旅費を使用できなかったため次年度使用額が生じた。今年度は、状況が改善次第、成果発表等の計画を見直す。
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