2021 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
19K03572
|
|---|
| Research Institution | Japan Women's University |
|---|
Principal Investigator |
愛木 豊彦 日本女子大学, 理学部, 教授 (90231745)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
|
| Keywords | 自由境界問題 / 圧縮性弾性体 / 非線形歪み |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、「気泡ゴムの水分浸潤過程」、「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」、「圧縮性弾性体」の解析を課題としている。本年度はこれら３課題のうちの次の２課題に取り組んだ。以下，研究業績の概要を述べる。
1．「気泡ゴムの水分浸潤過程」について 気泡ゴムは石油による海洋汚染対策への応用を目指し、その数理モデルが現在研究されている。気泡ゴムにおいて，水分浸潤による膨張が問題となる。本研究では、その浸潤領域を自由境界とし，毛細管現象によって成長するものとしている。従って，浸潤領域が広がるほど重力により成長が遅くなることを課している。数学的には，この問題の境界条件が非単調であることが困難な点である。そのため強解は得られず，弱形式の枠組みで本問題を捉えなければならない。その結果，自由境界問題の弱解の時間に関する大域的存在を証明することができた。
2．「圧縮性弾性体」について 輪ゴムのような圧縮性弾性体の伸縮運動を記述するbeam型方程式について考察した。前年度の研究では，応力を実数直線上で定義されたリプシッツ連続な関数と定めていたが，気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程に対する研究で得られた歪みに対する下からの評価を本問題に適用することで，応力を特異点をもつ関数とし強解の存在を示すことができた。ただし，ここでは，数学的困難を回避するために，熱によるエネルギー減衰を表現する粘性項をbeam方程式に付加している。解の存在は，線形方程式における，外力と解の関係に着目し，粘性項の効果から得られる評価をもとに不動点定理を適用することで証明することができた。また，弱解の一意性も得られた。さらに，常微分方程式モデルに対し，初期値に対し対称性を仮定すれば，すべての解が時間に関して周期的であることを理論的に証明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上述の３課題に対する進捗状況を述べる。
1．「気泡ゴムの水分浸潤過程」について 今年度は，前年度に証明した湿潤領域が単調に成長する場合の解の一意存在や時間無限大において湿潤領域が発散することを論文としてまとめ，学術誌に掲載が決まった。また，この現象に対する数値計算結果と数理モデルにおける湿潤領域の成長を比較した結果をまとめた論文が学術雑誌に掲載された。さらに，湿潤領域の重さによって，成長が阻害される場合についても成果を論文とし，現在投稿中である。
2．「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」について この課題は前年度に，実験結果を参考にモデルを見直すことにしたが，新しい実験結果が得られなかったため，この課題に取り組んでいない。
3．「圧縮性弾性体」について 常微分方程式モデルに対する数値解析的考察をまとめた論文が学術雑誌に掲載された。この論文では，従来の構造保存数値解法による計算結果に加え，新たに提唱された計算時間を短縮できる多段階構造保存数値解法による計算結果も記載し，これらを比較している。さらに，数値結果から周期解が存在することを予想していたが，保存量から周期解の存在を理論的に証明し，予想が正しいことを示すことができた。また，応力関数が実数直線上でリプシッツ連続な場合，弱解が一意に存在することを証明した論文も出版された。この論文では，解の位置性を共役の方程式による方法を用いている。
このように、研究は進んでいるが、新型コロナウィルスの蔓延のため、当初予定していたスウェーデンへ滞在することができなかった。それに伴って成果をまとめることができず，研究を1年間延長することとした。
|
| Strategy for Future Research Activity |
上述の３つの課題に対する今後の研究の推進方策を述べる。
「気泡ゴムの水分浸潤による膨張過程」について 残念ながら，本研究課題に対する実験を担当していた国外の研究者が，この研究から手を引いたため，新たな実験結果が得られる見込みがなくなったため，本課題に対する研究を中止する。
「弾性体の水分浸潤過程」について 現在のモデルでは、時間が無限大になれば、湿潤領域も無限大になるという実験結果とは相容れない結果が生じてしまう。そこで、実験結果と合致するような数理モデルとして，湿潤領域の成長がその重さによって阻害されることを仮定した自由境界問題を提案した。今年度までに，解の一意存在は示したので，次年度は解の時間無限大にした場合，ある湿潤領域が有界領域に収束することを示す。
このように次年度は，「弾性体の水分浸潤過程」については課題解決に取り組むが，「圧縮性弾性体」については今年度の成果をまとめることを優先し，課題解決については新たに採択された基盤研究に引き継ぐこととした。
|
| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス発生の影響で，予定していた国際研究集会が中止となり，そのための旅費を使用できなかったため次年度使用額が生じた。今年度は，これまでの成果をまとめることを目標とする。
|
Research Products
(13 results)
