2020 Fiscal Year Research-status Report
Study on free boundary problems arising in mathematical ecology and related nonlinear diffusion equations
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19K03573
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 名誉教授 (20111825)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 自由境界問題 / 反応拡散方程式 / 数理生態学 / 解の漸近挙動 / 解の形状 / 比較定理 / spreading |
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| Outline of Annual Research Achievements |
反応拡散方程式に対する自由境界問題は、数理生態学における外来生物の侵入現象をモデルとし、生物の個体数密度と生息領域の変化を定式化したものである。とくに興味深いのは、時間が無限大なるにつれて、自由境界で囲まれた領域が空間全体に拡大し、密度関数が反応項の正値安定平衡点に広義一様収束するような,spreading解の漸近解析である。
本研究では正値双安定項と呼ばれる非線形項を取り扱った。これは二つの正値安定平衡点を持つ関数であり、各平衡点に対応する2種類のspreading解が現れる。数値シミュレーションではspreading解の中には、段丘状の解形状を伴うものがあり、時間の経過とともに下層レベルは小さい安定平衡値に近づき、上層レベルは大きい安定平衡値に近づくこと、下層レベルの先端の拡大速度（＝自由境界の拡大速度）と上層レベルの先端の拡大速度は異なることが観察される。このような性質を持つ解をテラス解と呼び、テラス解が現れる現象を理論的に解明・評価することが課題であった。前年度の研究では、大きい平衡点に対応するspreading解について、対応するsemi-wave問題が解を持たないときに限りテラス解が現れることを示した。本年度は一般次元における自由境界問題を球対称領域に限定、松澤寛氏（神奈川大学）、兼子裕大氏（日本女子大学）と共同研究を行った。この結果、下層レベルの拡大速度や解形状は小さい正値平衡点に対応する semi-wave 問題の解が漸近評価を与えること、上層レベルの拡大速度や漸近形状は二つの平衡点を結ぶ進行波解が漸近評価を与えることが分かった。しかも、空間次元は解の評価に現れる、シフト項と呼ばれる対数関数の係数にのみ関係することを証明した。この結果の証明においては、比較定理を繰り返し用いてより詳しい優解や劣解を構成する、という精妙な解析が必要であった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度に遂行した研究課題は、正値双安定な非線形項を伴う反応拡散方程式に対する自由境界問題に現れる、spreading 解に関する一般空間次元での詳細な漸近解析である。とりわけ精妙なアイデア・技法 が必要となったのは、テラス解と呼ばれるspreading解に対する、時間無限大における漸近解析である。このタイプの解の形状について、上層レベルでは二つの正値安定平衡点をつなぐ進行波解により精確に近似できることを示した。一方、下層レベルでは小さい方の正値安定平衡点に対応するsemi-wave問題の解により精確な漸近評価が得られることも証明できた。これらは、松澤寛氏と兼子裕大氏との共同研究の成果であり、新型コロナウイルス感染症予防のため、一同に会しての議論を避けるという制約下での研究であった。幸い、電子メールでのやりとりのみで研究を進められたが、常に可能というわけではないと思われる。
一方、退化型非線形拡散を伴う森林モデルについては、大域的な弱解の構成に関する研究論文を発表したものの、解の定性に関する具体的成果はまだ得られていない。退化型非線形拡散を伴う単独方程式についての解析手法を、システムにまで拡張するための新しいアイデアが必要と思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
反応拡散方程式に対する自由境界問題に関する研究として、主に正値双安定項を非線形項として持つ場合の解の漸近挙動の分類とその評価を行い、ほぼ完全に解決することができた。次に目指す課題として、単独方程式に関する場合と、反応拡散方程式システムに対する場合に分けて考える。
(1) 非局所的拡散(nonlocal diffusion)を伴う人口モデルに対する自由境界問題
生物種が空間内の各点から別の地点へ移動する拡散過程を考えるとき、通常の拡散は該当する地点における情報によって定まると考え、二階偏微分（Laplacian）という局所的拡散が適用される。一方、生物種の移動に当たっては、該当する地点のみならず、その周囲の情報も考慮する必要があると考え、積分核を用いた非局所的拡散の概念が導入されている。この考えを、自由境界問題にも導入し、非局所的拡散項を伴う人口モデルに対する自由境界問題を考える。解の漸近挙動について既存の結果とどんな相違が現れか、考察したい。
(2) 反応拡散方程式システムに対する自由境界問題
数理生態学では2種以上の生物種の個体数密度変化を反応拡散方程式システムにより記述し、解の漸近挙動が解析されてきた。例えば2種の生物種の生存競争を自由境界問題の枠組で考えるとき、(a) 競合する二つの生物がそれぞれの生息域を拡げながら生存競争するときどのようなことが起こるか？ (b) 捕食種が被食種の生息する領域に侵入する場合どうなるか？また、逆に捕食種の生息域に被食種が侵入しようとするとき被食種はどこまでも生息域を拡げることができるか？など、いろいろな問題を考えることができる。それぞれの状況に応じた自由境界問題の定式化とその解析を目指したい。この方面の関連研究として Mingxin Wang のグループの研究などがあるが、新しい知見を得たい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症流行予防のため、学会・研究集会がオンライン開催となったことにより出張旅費として使用っできなかった。このため研究経費に残額が生じたが、今年度は、出張旅費としての使用が可能となることが期待される。
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