2019 Fiscal Year Research-status Report
Nonlinear partial differential equations on sub-Riemannian manifolds based on viscosity solution theory
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19K03574
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| Research Institution | Fukuoka University |
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Principal Investigator |
柳 青 福岡大学, 理学部, 准教授 (70753771)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 粘性解 / ハイゼンベルグ群 / サブリーマン / 凸性 / 動的境界値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2019年度の本研究の成果は以下の通りである．
（１）サブリーマン多様体上の凸解析を行い，一定の成果が得られた．ハイゼンベルグ群における凸関数の定義はユークリッド空間の場合と異なることを認識し，それに応じた関数の凸包の概念および具体的な構成の方法を確立した．さらに，対称性を持つ完全非線形楕円型方程式に対し，定義した凸包を利用することにより解の凸性を示すことができた．これらの結果は沖縄科学技術大学院大学のX. Zhou氏との共同研究によるものであり，作成した論文は現在投稿中である．
（２）完全非線形放物型方程式について粘性解の冪乗型の凸性を考察した．これまでは，楕円型と放物型方程式の古典解の凸性に関する結果が知られていたが，一般の完全非線形方程式に拡張する際に，解の２階微分可能性が期待できないため，凸性の証明は困難だと思われている．東京大学の石毛和弘氏とフィレンツェ大学のP. Salani氏の共同研究では，冪乗型の凸性に対する関数の凸包を定義し，粘性解の手法で一般的な放物型方程式の解の凸性を明らかにした．この研究に関する論文は国際ジャーナルJ. Math. Pures Appl.に掲載される予定である．
（３）ゲーム理論の方法による完全非線形方程式の動的境界値問題についての研究も続けていた．北海道大学の浜向直氏との共同研究では，平均曲率流方程式の動的境界値問題に適用できる離散ゲームを構築し，解の表現公式を与えた．さらに，ゲーム論的手法を利用し，レベルセットの凸性や肥満現象等の証明に成功した．これらの研究結果に関する主要論文は現在投稿中であるが，関連する一部の内容は国際ジャーナルESAIM Control Optim. Calc. Var.に掲載される予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初に予定していた研究課題，特にサプリーマン多様体上の凸解析の研究について一定の研究成果が得られ，研究目標も部分的に実現できた．ハイゼンベルグ群上の楕円型方程式において，方程式の対称性に関する仮定の下で解の凸性を明らかにし，新たに導入した凸包の概念の有用性を示せた．また，粘性解の冪乗型凸性やゲーム論的手法など関連の研究についても成果を上げていて，全体としては順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
サブリーマン多様体における楕円型方程式の解の凸性について研究を続ける．特に，方程式の対称性仮定の必要性を詳しく分析し，得られた結果の改善を試みる．また，計画通り，ハイゼンベルグ群において完全非線形放物型方程式の粘性解のLipschitz連続性についても研究を進める．解のLipschitz性が成り立つための条件を考察し，より一般的な方程式に適用できる方法を考案する．
なお，ハイゼンベルグ群のみならず，一般の距離空間における解析の方法も探究する．今までのサブリーマン多様体に関する研究の経験を活かし，既知の結果を総括して距離空間上の粘性解理論を発展させる．距離空間上の１階ハミルトン・ヤコビ方程式については既に研究を開始し，今後２階方程式の可解性問題にも挑戦する．
また，完全非線形偏微分方程式において，解の冪乗型の凸性に関する研究を継続する．楕円型と放物型方程式の両方を含むような一般的な問題設定の下で，粘性解の凸性問題に取り組み，様々な応用に向けて方程式の幾何学性質について理解を深める．
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| Causes of Carryover |
COVID-19の感染拡大により，2020年3月に予定していたアメリカ出張がキャンセルとなった．生じた残額は，次年度の研究連絡に必要な設備購入の費用として使用する．
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