2022 Fiscal Year Research-status Report
Nonlinear partial differential equations on sub-Riemannian manifolds based on viscosity solution theory
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19K03574
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| Research Institution | Okinawa Institute of Science and Technology Graduate University |
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Principal Investigator |
柳 青 沖縄科学技術大学院大学, 幾何学的偏微分方程式ユニット, 准教授 (70753771)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 準凸関数 / 粘性解 / ハイゼンベルグ群 / 曲率流 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
主にサブリーマン多様体における準凸関数の性質と非線形偏微分方程式への応用について研究した．既に本研究でハイゼンベルグ群上の準凸関数と一階非局所的ハミルトン・ヤコビ方程式の関係が明らかになり，それに関する論文が国際ジャーナルRev. Mat. Iberoam. に掲載された．2022年度ではそれに続き，曲率タイプの二階楕円型作用素による準凸関数の特徴づけを考察し，方程式の粘性劣解の形で準凸関数になるための必要条件と十分条件を導いた．従来の結果よりも，より一般的な函数クラスでハイゼンベルグ群上の準凸関数と二階非線形楕円型方程式との関係を明らかにし，理解を深めることができた．さらに，この結果を用い，未解決問題であるハイゼンベルグ群上の曲率流の凸保存性についても研究を行った．初期値の幾何学的構造に対する一定の仮定の下で部分的な結果を得られた．これらの成果をまとめた論文が現在投稿準備中である．
関連の課題として，ユークリッド空間における非局所完全非線形放物型方程式の粘性解の準凸保存性も研究し，先行研究の結果を改良できた．冪凸函数による近似を新しい解析の手法として採用し，従来の研究で扱う方程式よりも一般的な非局所方程式について，解の準凸保存定理を確立することができた．この研究結果をまとめた論文が国際ジャーナルNonlinear Differential Equations Appl. に掲載された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
サブリーマン多様体における集合と関数の凸性について，前年度の結果をさらに進展させ，偏微分方程式論の観点から理解を深めることができた．また，ハイゼンベルグ群上の曲率流方程式の凸保存性問題への応用も実現し，研究の新たな方向性を開拓することができた．本研究は予定通り進展し，順調に進んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
ハイゼンベルグ群上の曲率流の凸保存性について部分的な結果を得ることができたが，一般のサブリーマン多様体における曲率運動方程式については，多くの課題が残されている．特に，重要な未解決問題として，レベルセット方程式の粘性解の一意性を新たな手法で考察する必要がある．今回の研究で得られた準凸関数の性質を活かし，その函数クラスで解の一意性問題に挑戦する．また，一般の放物型方程式においては，解の凸保存性が一般的には成り立たないと予想されているが．具体的な反例が見つかっていないため，今後はその具体例の構築に取り組んでいく予定である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症の影響により、国内外の出張や研究者の招聘などが一部中止または延期となった。生じた残額は、次年度の出張旅費と研究者の招聘旅費として使用する。
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