2019 Fiscal Year Research-status Report
Asymptotic and global analysis of hypergeometric functions
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19K03575
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
岩崎 克則 北海道大学, 理学研究院, 教授 (00176538)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 超幾何関数 / 連分数 / 離散鞍点法 / 漸近公式 / 超幾何群 / K3曲面 / エントロピー / ジーゲル円板 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
大きなパラメータをもつ超幾何級数に対する離散鞍点法を、級数が独立変数を含む場合に拡張した。この方法をガウスの連分数へ応用し、打切り誤差の漸近展開の主要項を決定した。この結果をプレプリントにまとめ e-Print arXiv に掲載した（番号 1904.03350v1)。さらに直交多項式と特殊関数に関する国際研究集会 15th OPSFA（オーストリア）において Discrete Laplace method and hypergeometric continued fraction と題して発表した。
超幾何級数のガンマ乗積公式に関して、Duality and reciprocity for hypergeometric series with a gamma product formula と題する論文が印刷公表された。この論文では、ガンマ乗積公式に対して双対性と相互性という対称性を導入した。この対称性は、一つの公式がより多くの公式を自動的に生むことを可能にするとともに、超幾何級数がガンマ乗積公式をもつための必要条件を精密化することにも使われる点で、理論を二重に深化させている。
超幾何群とK3曲面上の力学系に関する研究を開始した。超幾何群とは、一般超幾何関数のモノドロミーをモデルとする行列群である。一方、K3曲面上の力学系は、複素曲面上の力学系の中でも重要な位置を占めるテーマである。両者は一見すると無関係に見えるが、本研究では両者を有機的に結び付ける方法を得た。すなわち、超幾何群から得られる格子（超幾何格子）を用いて、K3曲面上の正のエントロピーをもつ正則自己同型を大量に生成する方法を発見した。これまでに得た成果を論文にまとめるとともに、研究集会でも発表した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
離散鞍点法を、級数が独立変数をもつ場合に拡張し、それを超幾何連分数の漸近展開に応用することができた。その結果をプレプリントにまとめ、またオーストリアで開催された特殊関数論の研究集会で発表することができた。
超幾何関数のガンマ乗積公式についても、双対性と相互性の概念を導入した44頁の論文が印刷公表された。これにより、ガンマ乗積公式の理解がさらに深まった。
また新しく取り組んだテーマである、超幾何群の理論とK3曲面上の力学系の理論の融合についても順調な進展が見られた。まず、後者への適用を見込んで前者の基盤整備を十分に行うことができた。さらに、ある場合に、超幾何格子がK3格子となるための条件や、超幾何格子のホッジ構造についての考察が進んだ。これまでに得られた結果を論文にまとめるところまでに進み、また３回にわたり、研究集会や数学談話会等で、研究の途中結果について発表報告することができた。
これらのことに鑑みると、研究計画がおおむね順調に進展しているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後、当面最も力を入れる課題として、超幾何群とK3曲面上の力学系に関する研究を推し進める。超幾何群から得られるK3曲面上の自己同型について、ジーゲル円板とよばれる不変集合が存在するための十分条件の考察を行う。そのために、自己同型が固定曲線をもつ場合に、レフシェッツ型の不動点公式の適用法について考察する。またピカール群格子内のでルート系の取扱いについて、指導する大学院生の高田佑太と共同研究を行う。そこには、コンピュータ援用の計算が伴うため、彼とともにアルゴリズムの開発を行う。得られたところまでの成果を論文にまとめて、学術雑誌に投稿する。本年度２月に、複素曲面上の力学系やK3曲面の構成法の専門家である上原崇人を招聘し研究連絡の機会を持ったが、引き続き同氏と研究交流を続行する。３月に高田と共同で成果発表する予定であった研究集会が、新型コロナウィルスのために延期された。状況が改善し研究集会が開催されれば、予定していた発表を行う。
超幾何関数の漸近解析や離散鞍点法、ガンマ乗積公式についても、当面は副テーマとして常に関心をもち、機会をとらえて、これまで得られた結果の拡張や新しい課題への挑戦を続ける。
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| Causes of Carryover |
3月に熊本大学で開催される予定であった研究集会へ、研究代表者と指導する大学院生が出席し、研究発表を行う予定であったが、新型コロナウィルスのために延期された。同じく3月に日本大学で開催される予定であった2020年度日本数学会年会へ、研究代表者が出席する予定であったが、やはり新型コロナウィルスのために中止された。これらの影響により、当初使用予定であった旅費が使えなくなった。次年度に新型コロナショックが収まれば、延期された研究集会へ出かけるための旅費として、あるいは新規に研究連絡を行うための旅費として活用する。
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