2019 Fiscal Year Research-status Report
The characterizations of dynamical systems using shadowable measures
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19K03578
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| Research Institution | Utsunomiya University |
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Principal Investigator |
酒井 一博 宇都宮大学, 教育学部, 教授 (30205702)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 力学系理論 / 擬軌道尾行性 / 確率測度 / 双曲性 / 占有的分解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
fを多様体M上の微分同相写像とし, M上の確率測度全体をM(M)とする。また、f-不変確率測度全体をM_f(M)で、エルゴード的f-不変確率測度全体をM_f~e(M)で表す。本研究では、PS={f:\mu-尾行可能 (\forall \mu \in M(M))}, IS={f:\mu-尾行可能 (\forall \mu \in M_f(M))}、そして ES={f:\mu-尾行可能 (\forall \mu \in M_f(M))}を考察対象とし、これらの集合のC~1-位相に関する内点を一様双曲性や非一様双曲性の概念を用いて特徴付ける。
本研究の基盤となる研究成果``Diffeomorphisms with Shadowable Measures"(K. Moriyasu, K. Sakai, N. Sumi)が2018年12月、Axioms; https://doi.org/10.3390/axioms7040093（オープンアクセスジャーナル）に掲載された。これによりPS, ISのC~1-位相における力学的特徴付けは完了している。本年度は、「ESの内点に属する微分同写像の特徴付け」と「尾行可能測度の非一様双曲型力学系への応用」について研究計画に従い研究を推進した。
ESについてはまだ有効な進捗は得られていないが、本年度の重要な研究実績の１つに、尾行可能な擬軌道の尾行可能測度による量的評価が挙げられる（力学系理論専門誌に掲載）。尾行性を持たない力学系に対し、尾行可能な擬軌道についての定量的結果が得られたのは、研究代表者が知る限り世界で最初である。非一様双曲型力学系は一般に尾行性を持たない。本研究成果により、尾行性理論の非一様双曲型力学系への新たな展開に向け一つの示唆を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ESについてはまだ有効な進捗は得られていないが、本年度は尾行可能測度を利用することにより、尾行性を持たない力学系に対し、尾行可能な擬軌道の量を具体的に評価することに成功した（本研究成果は力学系理論専門誌 Dynamical Systems, Taylor&Francis に掲載されている）。報告者の知る限り、尾行可能な擬軌道について定量的結果を得たのはこの結果が最初である。非一様双曲型力学系は一般に尾行性を持たない。本研究成果は、尾行性理論の非一様双曲型力学系への応用研究に向け１つの示唆を与えるものであり、同時に本研究の新たな展開の可能性を得ることができた。
一方、ESのC~1-位相についての特徴付けについてはまだ有効な進捗は得られていないが、不変測度の弱位相における内点に属する尾行可能測度があるような系については、既存の尾行性理論がその解析に応用可能であることが明確になった。このことを踏まえ、2020年度はESの特徴付けを推進する。
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| Strategy for Future Research Activity |
ESのC~1-位相についての特徴付けについては有効な進捗は得られていないが、前述のように不変測度の弱位相における内点に属する尾行可能測度があるような系については、既存の尾行性理論がその解析に応用可能であることが明確になった。また、2019年度の研究により、不変な尾行性測度のサポートと尾行性についての関連が解明されている（本研究成果は力学系理論専門誌 Qualitative Theory of Dynamical Systems, Springer への掲載が決定）。
2020年度以降の第１の目的は、エルゴード的尾行性測度全体のサポートの和集合（これは閉集合となることがわかる）上に占有的分解の存在を示すことである。例えば、占有的分解が存在しないと仮定した場合、C~1-位相で摂動することにより固有値（絶対値）１をもつ周期点の存在が証明できる。それがもし複素固有値であれば、S~1上のダンジョワ写像を周期点の近傍に（局所的に）埋め込むことでエルゴード的測度\mu~eの存在が証明できる。一方、ダンジョワ写像は尾行性を持たないことから\mu~eも尾行可能測度でないことが証明され、矛盾を得ることができる。従って、複素数固有値が存在することの証明が残された主な課題となる。
2020年度においては、2019年度の研究成果を基に、力学系系のエルゴード理論の専門家と研究討議を重ねることにより占有的分解の存在を証明する。
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| Causes of Carryover |
（次年度使用額が生じた理由）宇都宮大学における複数の全学会議（本研究代表者（報告者）が主催）等のスケジュールにより，エルゴード論的力学系理論の専門家である鷲見氏（熊本大学）を年度末に訪問する予定であったが，新型コロナウイルスによる影響のため，熊本出張を取り止めざるを得なかった。
（使用計画）2020年度は年末に熊本大学（鷲見氏）を訪問し，Aoki-Moriyasu-Sumi及びPrzytyckiの研究手法の一般化について研究討論を行うとともに，エルゴード測度全体のサポートの和集合の占有的分解の存在及びその双曲性の証明の可能性ついて研究セミナーを実施し，エルゴード論的力学系理論の視点からも支援を頂き，本研究の課題解決に向け，より一層の活性化を図る。
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Research Products
(2 results)
