2021 Fiscal Year Research-status Report
制御問題，力学系，界面運動に現れる漸近問題への粘性解的手法の研究
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19K03580
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
三竹 大寿 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (90631979)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 平均場ゲーム / ハミルトン・ヤコビ方程式 / 外力付グラフ型平均曲率流方程式 / カプトー型時間分数冪拡散方程式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和３年度は，(テーマ１) 外力付等高面平均曲率流方程式のコーシー・ノイマン問題，（テーマ２）平均場ゲーム理論に現れる割引消去問題，（テーマ３）カプトー型時間分数冪拡散方程式について，幾つかの結果を得ることができた．テーマ１．外力付等高面平均曲率流方程式のコーシー・ノイマン問題について，解の大域的リプシッツ正則性を与えるための十分条件を与え，さらにその条件が最適であることを証明した．テーマ２．平均場ゲーム理論において，特に微分方程式が一階の連立系を考えると，微分方程式の型である半線形に比べ完全非線形となり非線形性が強くなるため解析が難しく，未開拓領域が多い課題である．本研究では，変分法とFenchel-Rockafellar双対性を利用して解の存在について示し，対応するSobolev空間におけるコンパクト性について示した．このことで，割引消去問題の解の部分列での収束が分かる．さらに，任意の収束部分列の極限が満たす条件を解明した. そしてこの条件を用いて，非自明な場合（つまり極限問題が多重的弱解を持っている場合）に，解の（全列での）収束を示した．これらの結果は，平均場ゲームの割引消去問題の選択問題について国際的にも初めて取り組んだもので，今後の進展の起点となりうることが期待される．
令和３年度では，幾つかの国際研究会に招待を受けていたが，コロナ禍の影響で，多くはキャンセルとなった．その中で，オンラインによって開催された研究会「香港科学技術大学，偏微分方程式セミナー」，「沖縄科学技術大学院大学，解析セミナー」，「京都大学NLPDEセミナー」において研究発表を行なった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
外力付等高面平均曲率流方程式のコーシー・ノイマン問題や，平均場ゲーム理論に関する研究について計画通りの進展を得ることができた．一方で，新型コロナウィルスの流行と社会情勢から，計画していた出張が出来ず，研究費の執行が出来ず延長申請を行い承認された．コロナ禍の状況に応じて，研究推進を目的とした海外出張の再開を検討したい．
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| Strategy for Future Research Activity |
令和4年度は，令和3年度に研究途中である，非局所界面運動に対する等高面方程式の解の幾何的性質やその漸近挙動，カプトー型時間分数冪ハミルトン・ヤコビ方程式の均質化問題について研究を進展させることを目標とする．コロナ禍の状況に応じて，研究打ち合わせを目的とした海外出張や，国際研究集会の対面での再開を検討したい．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの流行と社会情勢から，計画していた出張が出来なかったため．
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