2020 Fiscal Year Research-status Report
ロトカ・ボルテラ系における交差拡散極限が導く定常解の多層構造の解明
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19K03581
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
久藤 衡介 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40386602)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 反応拡散方程式 / 拡散の相互作用 / 非線形楕円型方程式 / アプリオリ評価 / 写像度 / 分岐 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有界領域において生存競争をする２種類の生物種の個体群密度の時空的変化を記述する反応拡散系の研究に従事した．この系は，ロトカ・ボルテラ方程式に，それぞれの生物種の空間的なランダム拡散のみならず，競争種同士の空間的反発を記述する非線形拡散項（交差拡散）を付加する点が特徴的である．この系はSKTモデルとよばれ，拡散の相互作用の数学的解明に向けたプロトタイプとして，国内外で研究がされ続けている．
SKTモデルの定常問題については，両方の交差拡散係数を無限大にした際の解の漸近挙動（両方交差拡散極限）が懸案事項であった．2019年度においては，両方の交差拡散係数を無限大にした際の解の収束先は，２つある極限系のどちらかで特徴付けられることを示した．そのうちの片方の極限系では，競争種に対応する未知関数の積が零になる意味で，完全な棲み分けを記述する．もう一つの極限系では，未知関数の積は正定数になる意味で，不完全な棲み分けを記述する．
当該年度(2020年度)の研究成果として，ノイマン境界条件の下では，両方交差拡散極限は後者の不完全な棲み分けを記述する極限系で支配されることが分かった．この極限系は，積分条件を伴う半線形楕円型方程式で表されるが，非定数解が存在するための係数に対する十分条件を得た．空間１次元においては，非定数解の集合が形成する大域分岐枝の概ねの形状を明らかにした．具体的には，競争種のランダム拡散係数をパラメーターと見立てると，非定数解の固有振動数に応じた閾値が定まり，その閾値において，固有振動を伴う解が共存定数解から分岐することを証明した．さらに，分岐した振動解の枝は，ランダム拡散係数が零となる方向に延びていくことが分かった．なお，ランダム拡散係数が零に近づく際，振動解の最小値が零に近づくか正値に留まるかは，拡散項が皆無の常微分方程式の定数解が不安定か安定かに依ることが判明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
交差拡散を伴うロトカ・ボルテラ系（SKTモデル）に対して，両方の交差拡散係数を無限大にした際の解の漸近挙動（両方交差拡散極限）を明らかにすることが，本研究課題の基本目標の一つあった．定常問題の両方交差拡散極限については，2019年度に極限系の導出の鍵となる「解のアプリオリ評価」を完成し，本年度(2020年度)においては，空間多次元における極限系の非定数解の存在，および，空間１次元における極限系の非定数解集合の大域分岐構造を明らかにしている．その意味で，SKTモデルの交差拡散極限の観点においては，本研究は，順調に進展しているといえる．
また，SKTモデルにおいて，片方の交差拡散係数を無限大とした際の解の漸近挙動（片方交差拡散極限）について，２つある極限系の解集合の接合と接合部付近における解の安定性の交代現象を捉えることも，本研究課題の目標の一つであった．その観点では，研究協力者の Yaping Wu 氏（首都師範大学教授・北京）とともに論文を執筆中である．新型コロナウイルスの感染拡大により研究打合せを中止したため，2019年度に若干の進展の遅れをみたが，2020年度においては Zoom による研究打合せを活用しによって，遅れを取り戻している．
さらに，attractive transition 型の移流項を伴うロトカ・ボルテラ被食者-捕食者系の研究についても，移流項の係数を無限大にした際の定常解の漸近挙動を大枝和浩氏（九州産業大学講師・研究協力者）とともに明らかにし，その成果は国際的な数学学術誌に投稿中である．
総合的にみて，本研究課題の進捗は概ね順調であるといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究の最終年度(2021年度)にあたり，交差拡散を伴うロトカ・ボルテラ系（SKTモデル）の研究においては，2020年度までに得られた定常解の両方交差拡散極限の概ねの大域構造を詳しく解析する．その解析を通じて，積分条件を伴う非線形楕円型方程式の数学的な処方を提案すると同時に，交差拡散項による拡散の相互作用がもたらす競争種の棲み分けのメカニズムを数理的に説明する．
最初の目標として，空間１次元で得ている振動定常解の分岐枝に対して，パラメータのランダム拡散係数を小さくした際の，振動解の形状を明らかにする．高度な特異摂動法を要する場合は，その手法に詳しい Yaping Wu 氏（首都師範大学教授・研究協力者）に助言を仰ぐ．
次に，両方交差拡散極限で得られた定常解の分岐枝の安定性の判定を行う．併せて，線形化固有値の分布に基づき陰関数定理を用いることで，両方の交差拡散係数が大きいケースのSKTモデルの定常解の分岐枝を構成する．少なくとも，分岐枝の定数解付近やランダム拡散係数が小さいケースにおいては，空間多次元解の安定性の判定に注力する．
また，attractive transition 型の移流項を伴うロトカ・ボルテラ系の研究においては，移流項の係数を無限大にした際の定常解の漸近挙動を特徴付ける２つの極限系に対して，それぞれの解集合が形成する分岐枝を接合することを目指す．さらに，既存の研究成果に乏しい非定常解の大域存在と定常解集合との力学系的な関係の明確にする．
本研究の最終年度においても，新型コロナウイルスの感染拡大によって，研究成果の発表機会が限られる可能性があるが，オンライン集会等での積極的な口頭発表を心がける．また，研究予算で購入した計算機を用いた数値シミュレーションも積極的に行い，交差拡散を伴うロトカ・ボルテラ系の定常解の大域分岐構造の解明の一助とする．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの感染拡大の影響で，当該年度(2020年度)に計画していた研究出張はすべてキャンセルとなったため，次年度使用額が発生した．2021年度も研究出張は当面は難しい状況にあるので，オンライン研究集会での成果発表を少しでも充実させるような機材購入に充てる．また，成果発表論文のオープンアクセス料の使用も検討する．
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