2022 Fiscal Year Annual Research Report
ロトカ・ボルテラ系における交差拡散極限が導く定常解の多層構造の解明
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19K03581
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
久藤 衡介 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (40386602)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 反応拡散系 / 交差拡散 / 数理生物学モデル / 分岐 / 極限系 / 摂動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有界領域において資源（餌）を共通とする２種類の生物種は生存競争をする関係にあるが，競争種の棲み分け現象が実際の生態系で観測されている．そういった棲み分けを再現しようとする反応拡散系は，ロトカ・ボルテラ競争系に異種の生物種の拡散の相互作用である交差拡散項を付加する形で重定・川崎・寺本によって提唱されている．(SKTモデル,1979)
本研究課題においては，SKTモデルの定常問題に対して両種の交差拡散係数を無限大にする極限操作（両方交差拡散極限）における正値解の漸近挙動を大域分岐構造の立場から明らかにしてきた．概ね前々年度までに，ノイマン境界条件の下で両方交差拡散極限を考え，解は不完全排他な棲み分けを特徴付ける極限系の解に収束することを示した．さらに，その極限系の解集合の大域分岐構造を得ている．前年度には，ディレクレ境界条件の下で両方交差拡散極限を考え，解は少数共存を特徴づける極限系（第１極限系）か完全排他は棲み分けを特徴づける極限系（第２極限系）のどちらかの解に収束することを示した．さらに，第１極限系の解集合は自明解から分岐する曲線を形成し，第２極限系の解集合は空間１次元のケースでは零点の数に応じた符号変化解の分岐枝で特徴付けられることを明らかにした．
最終年度においては，ディレクレ境界条件の下で得られた２種類の極限系から，両方の交差拡散係数が非常に大きい場合のSKTモデルの定常解の大域分岐枝を摂動によって構成した．その結果として，空間１次元のケースでは，第１極限系の摂動に対応する解の集合が，ランダム拡散係数が分岐点を減少しながら横切るときに自明解から分岐することが分かった．その第１極限系の摂動解から成る分岐枝上に複数個の分岐点が存在し，そこから第２極限系の摂動解に対応する解集合の枝が分岐していることを明らかにした．
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