点渦系平均場方程式の解構造の探究

2019 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 19K03583
• Research Institution: Nara University of Education
• Principal Investigator: 高橋 亮 奈良教育大学, 数学教育講座, 准教授 (30583249)
• Project Period (FY): 2019-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: 点渦系 / 解構造 / 特異極限 / 分布系 / 領域

Outline of Annual Research Achievements

本研究では、渦形成メカニズムを解明するために提唱された確率分布系に従う点渦系平均場方程式、決定分布系に従う点渦系平均場方程式、および単純化された平均場方程式の３つの数理モデル間の解構造の類似点・相違点を解明していく。本年度の研究において得られた主要な実績を、以下の①、②、③で述べる。
①上記に挙げた数理モデルの解構造を決定する上で、対応する非定常問題を研究することは一つの重要課題である。今年度においては、非定常問題に対する基本的結果を導出した。具体的には、時間局所解の一意存在性および境界爆発点の非存在性を証明した。特に、後者の結果は新規性があり、証明方法もこれまでに知られているものと根本的に異なる。以上の結果は、解構造を決定すると予想される３つの要素（領域・各種パラメータ・分布系）が一般的なものであっても成立する。
②確率分布系について得られた結果を述べる。定常問題について、領域は一般的、点渦の向きは一定、分布系は連続という仮定の下、臨界質量における解の存在性を保証する１つの十分条件を与えた。この条件はグリーン関数によって特徴づけられ、単強度の場合は必要条件ともなるが、当該条件の場合は必要条件になるとは限らないことが判明した。非定常問題について、領域が円板、点渦の向きは一定、分布系は離散的（２点）という仮定の下、デルタ関数の特異性が発現しうることを示した。
③決定分布系について得られた結果を述べる。定常問題について、領域は円板、点渦の向きは一定、分布系は連続という仮定の下、解の存在性・非存在性を分かつ逆温度に関するパラメータの閾値とトゥルディンガー＝モーザー型の不等式の最良定数が一致することを示した。このことと関連して、非定常問題について、パラメータが閾値を超えた場合、デルタ関数の特異性が発現しうることの示唆を得た。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

円板領域における研究結果は上記のとおりいくつか得られたが、円環領域におけるめぼしい研究結果が得られなかった。これは、当初適用する予定であった手法が通用しなかったためである。また、質量量子化の分類の研究において、当初の予定よりもその証明の完成に時間がかかっている。さらに、円板領域における研究をさらに発展させるために、リャプノフ関数が重要なファクターとなるが、その構成に未だ至っていない。

Strategy for Future Research Activity

非定常問題については、引き続き当初の予定通りに研究を進める。次に、定常問題に関する本研究課題の今後の推進方策を述べる。現時点で実りのない円環領域における研究については、当初の予定を変更し、直接的に対応する常微分方程式系の研究を行う。質量量子化の分類に研究については、極限をとる操作の前段階を見直し、証明の方針変更を行う。また、点渦の分布による解構造の変化を捉えるために、多成分リュービル方程式の導出およびその解の性質の研究を開始する。

Causes of Carryover

新型コロナウイルスの影響により、当初予定していた外国出張を行うことができなくなったため、旅費に残額が生じた。また、次年度（2020年度）実施予定の米国における講演等も延期されているが、それは中止ではなく、開催を１年延期することが決定されている。以上述べたような状況を考慮し、主な支出（旅費）については、使用計画を１年間ずらす形をとる。この場合、５年間にわたる支出総額に残額が生じることになるが、この残額は研究活動で必要となるであろうテレワークの環境整備に使用される予定である。