2019 Fiscal Year Research-status Report
地球流体方程式に現れる異方性と特異極限問題の数学解析
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19K03584
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
高田 了 九州大学, 数理学研究院, 准教授 (50713236)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 回転成層流体 / Navier-Stokes方程式 / Boussinesq方程式 / MHD方程式 / 重み付き補間不等式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は，大気や海洋などを代表とする大規模な地球流体において，回転と温度成層が流れの様相に及ぼす影響やその仕組みを，非線形偏微分方程式論の観点から数学的に解明することである．
本年度は，3次元電磁流体力学（MHD）方程式およびHall効果を考慮したHall-MHD方程式において，回転速度場および鉛直上向き定磁場の安定性に関する研究を行った．特に，Hall効果と鉛直上向き定磁場が有する分散性に関して考察した．Hall項は空間二階微分を含む二次の非線形項であり，鉛直上向き定磁場の周りで線形化した際に，鉛直方向への異方性を伴う歪対称な二階偏微分作用素が現れる．本研究ではこの偏微分作用素から生成される時間発展作用素に対して，時間減衰評価および時空積分評価を確立した．非線形問題への応用について，現在も研究を継続している．
また関連する関数不等式の研究として，重み付き高階Gagliardo-Nirenberg型補間不等式の改良に関する考察を行った．同不等式の成立する重み冪の許容指数範囲については必要十分条件が知られているが，本研究においては，球対称関数に対してはより広い許容指数範囲の重み冪に対して不等式が成立することを証明した．このような球対称性による重み付き補間不等式の改良は，先行研究においては一階微分を含むCaffarelli-Kohn-Nirenberg不等式に対しては知られていたが，本研究では高階微分を含む形での自然な一般化を与えることに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
3次元電磁流体力学方程式に関する研究では，線形評価について成果を得ることが出来た．特にHall効果と鉛直上向き定磁場が有する分散性に関して，対応する時間発展作用素に対する時間減衰評価と時空積分評価を導出した．また関連する関数不等式の研究では，重み付き高階Gagliardo-Nirenberg型補間不等式に関して，球対称性による重み冪の許容指数範囲の改良を示し，一階補間不等式に対する先行研究の高階版への一般化を与えた．
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| Strategy for Future Research Activity |
3次元電磁流体力学方程式において，回転速度場および鉛直上向き定磁場の非線形安定性に関する研究を継続して行う．特に，初期速度擾乱が臨界正則性をもつ場合の時間大域的適切性に関して考察する．また3次元層状領域における成層流体方程式の時間大域的適切性および解の長時間挙動に関する研究を行う．関連する関数不等式の研究に関しても，重み付き高階補間不等式の改良としてBesov空間ノルム等による評価を考察する．
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| Causes of Carryover |
2020年3月に参加予定であった研究集会が全て中止または延期となったため差額が生じた．2020年度の研究集会参加および研究打ち合わせのための旅費として使用予定である．
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