2019 Fiscal Year Research-status Report
Sobolev's inequality on metric measure spaces
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19K03586
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
大野 貴雄 大分大学, 教育学部, 准教授 (40508511)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Sobolevの不等式 / Rieszポテンシャル / 距離空間 / Herz空間 / Morrey-Musielak-Orlicz空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
様々な偏微分方程式の解の存在や正則性を示すうえで，Rieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式は非常に有用なツールである．よって，どの程度一般的な関数空間においてRieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式が成り立つのかについては，1900年代後半から現在まで，国内外多くの研究者によって研究されてきた．特に，2000年頃から，宇宙開発分野からの要請により，Musielak-Orlicz空間の研究が国内外様々な研究者によって研究がされはじめてきた．また，近年注目を集めているのが距離空間上でのSobolev空間である．古典的にはSobolev空間はユークリッド空間において定義されてきたが，一般の距離空間上でのSobolev空間の研究が，様々な応用を念頭に，フィンランド学派を中心に，学際的かつ国際的に大きな進歩をしてきた．以上のことを踏まえ，本研究では，上記のような関数空間を包括する距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間を定義し，その関数空間におけるSobolev型の不等式を示すことを目指す．本年度は特に，上記目標のため，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性について研究を行い，望んでいた結果を得ることができた．ここに，ユークリッド空間の場合では，Sobolev型の不等式の研究を行う上で極大作用素の有界性が非常に有用なツールであることが分かっているため，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間の場合でも，極大作用素の有界性の研究は，研究目的の遂行のために大変重要であると思われる．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間の基礎的な性質のみを調べる予定だったが，そこから更に本年度は，距離間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性まで研究を行い，望んでいた結果を得ることができた．このことより，研究は当初の計画以上に進展していると思われる．ここに，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性は，研究目的である距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式を研究する上で大変重要なツールである．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の推進方策としては，本年度得ることができた距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性を用いることで，研究目的である距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式について研究を進めていきたい．特に来年度においては，少なくとも測度が2倍条件を満たす場合においては，研究目的を果たしたいと考えている．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で，学会や研究打合せの予定が年度後半でキャンセルが続いたため，次年度使用額が生じた．尚，次年度の使用計画としては，次年度も研究打合せ等が難しい状況が続くことが予想されるので，本年度の予算と合わせて，研究打合せ等に必要なweb会議システム等を整えていきたいと思う．
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Research Products
(3 results)
