2020 Fiscal Year Research-status Report

Sobolev's inequality on metric measure spaces

Research Project

Project/Area Number	19K03586
Research Institution	Oita University
Principal Investigator	大野貴雄大分大学, 教育学部, 准教授 (40508511)
Project Period (FY)	2019-04-01 – 2023-03-31
Keywords	Sobolev型の不等式 / 距離空間 / Morrey-Musielak-Orlicz空間 / Herz空間
Outline of Annual Research Achievements	様々な偏微分方程式の解の存在や正則性を示すうえで，Rieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式は非常に有用なツールである．よって，どの程度一般的な関数空間においてRieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式が成り立つのかについては，1900年代後半から現在まで，国内外多くの研究者によって研究されてきた．特に，2000年頃から，宇宙開発分野からの要請により，Musielak-Orlicz空間の研究が国内外様々な研究者によって研究がされはじめてきた．また，近年注目を集めているのが距離空間上でのSobolev空間である．古典的にはSobolev空間はユークリッド空間において定義されてきたが，一般の距離空間上でのSobolev空間の研究が，様々な応用を念頭に，フィンランド学派を中心に，学際的かつ国際的に大きな進歩をしてきた．以上のことを踏まえ，本研究では，「どの程度一般的な関数空間でSobolev型の不等式が成り立つのか」について研究を行う．具体的には，上記のような関数空間を包括する距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間を定義し，その関数空間におけるSobolev型の不等式を示すことを目指す．本年度は特に，上記目標のため，昨年度の成果である距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性を用いて，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式について研究を行い，望んでいた結果を得ることができた．更に，昨年度の成果である距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性について，ある種の最良性についても結果を得ることが出来た．
Current Status of Research Progress	Current Status of Research Progress 1: Research has progressed more than it was originally planned. Reason 当初の計画では，距離間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性や最良性のみを研究する予定であったが，そこから更に本年度は，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式まで研究を行い，望んでいた結果を得ることができた．このことより，研究は当初の計画以上に進展していると思われる．尚，本年度に得られた結果は，特別な場合に相当する測度が2倍条件を満たす場合においても，意味のある新しい結果となった．
Strategy for Future Research Activity	当初の計画では，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式について研究を行うことが最終目標であったが，研究が当初の計画以上に進んだため，当初の目的である「どの程度一般的な関数空間でSobolev型の不等式が成り立つのか」に立ち返り，今後の推進方策としては，Herz型と関連する距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についても研究を進めていきたい．特に来年度においては，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式を研究する上で有用であろう，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性について研究を行う予定である．
Causes of Carryover	新型コロナウイルスの影響で，研究打合せと学会発表がオンラインとなったため,次年度使用額が生じた．また，研究打合せや学会発表がオンラインとなったことで，従来のオンライン会議システムだけでは数学独自の数式や記号を，相手に正確に伝えることが難しいことを実感した．よって使用計画としては，次年度も研究打合せや学会発表がオンラインとなることが想定されるため，数学独自の数式や記号を伝えることができるオンライン設備の購入を行いたい．