2021 Fiscal Year Research-status Report
Sobolev's inequality on metric measure spaces
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19K03586
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
大野 貴雄 大分大学, 教育学部, 准教授 (40508511)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Sobolev型の不等式 / 極大作用素 / Morrey-Musielak-Orlicz空間 / Herz空間 / 距離空間 / Rieszポテンシャル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
様々な偏微分方程式の解の存在や正則性を示すうえで，Rieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式は非常に有用なツールである．よって，どの程度一般的な関数空間においてRieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式が成り立つのかについては，1900年代後半から現在まで，国内外多くの研究者によって研究されてきた．特に，2000年頃から，宇宙開発分野からの要請により，Musielak-Orlicz空間の研究が国内外様々な研究者によって研究がされはじめてきた．また，近年注目を集めているのが距離空間上でのSobolev空間である．古典的にはSobolev空間はユークリッド空間において定義されてきたが，一般の距離空間上でのSobolev空間の研究が，様々な応用を念頭に，フィンランド学派を中心に，学際的かつ国際的に大きな進歩をしてきた．以上のことを踏まえ，本研究では，「どの程度一般的な関数空間でSobolev型の不等式が成り立つのか」について研究を行う．当初の計画では，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についてのみ研究を行うことが最終目標であったが，研究が当初の計画以上に進んだため，当初の目的に立ち返り，Herz型と関連する距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についても研究を進めていくこととした．特に今年度においては，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式を研究する上で有用であろう，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性について研究を行い，予想していた結果を得ることが出来た.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初の計画では，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についてのみ研究を行うことが最終目標であったが，研究が当初の計画以上に進んだため，Herz型と関連する距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についても研究を進めていくこととした．特に今年度においては，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性について研究を行い，予想していた結果を得ることが出来たため，研究は当初の計画以上に進展していると思われる．
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| Strategy for Future Research Activity |
当初の計画では，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式について研究を行うことが最終目標であったが，研究が当初の計画以上に進んだため，当初の目的である「どの程度一般的な関数空間でSobolev型の不等式が成り立つのか」に立ち返り，今後の推進方策としては，Herz型と関連する距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についても研究を進めていきたい．特に来年度においては，前年度の研究成果である距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間における極大作用素の有界性を用いて，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式について研究を行う予定である．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響で，研究打合せと学会発表がオンラインとなったため,次年度使用額が生じた．また，使用計画としては，次年度は研究打合せや学会発表が対面で多く実施されることが想定されるため，前年度分も含めて，そちらに使用をしていきたい．
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