2022 Fiscal Year Annual Research Report
Sobolev's inequality on metric measure spaces
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19K03586
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| Research Institution | Oita University |
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Principal Investigator |
大野 貴雄 大分大学, 教育学部, 教授 (40508511)
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2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | Sobolev型の不等式 / Morrey-Musielak-Orlicz空間 / 距離空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
様々な偏微分方程式の解の存在や正則性を示すうえで，Rieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式は非常に有用なツールである．よって，どの程度一般的な関数空間においてRieszポテンシャルに対するSobolev型の不等式が成り立つのかについては，1900年代後半から現在まで，国内外多くの研究者によって研究されてきた．また，近年注目を集めているのが距離空間上でのSobolev空間であり，一般の距離空間上でのSobolev型の不等式の研究が，様々な応用を念頭に，学際的かつ国際的に大きく進歩をしてきた．以上のことを踏まえ，本研究では，「どの程度一般的な関数空間でSobolev型の不等式が成り立つのか」について研究を行った．
当初の計画では，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についてのみ研究を行うことが最終目標であったが，研究が当初の計画以上に進んだため，Herz型と関連する距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式についても研究を進めていくこととした．特に今年度においては，前年度の研究成果である極大作用素の有界性を用いて，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間におけるSobolev型の不等式について研究を行い，予想していた結果を得ることが出来た．
以上より，本研究の研究期間全体を通じて実施した研究の成果としては，「どの程度一般的な関数空間でSobolev型の不等式が成り立つのか」の問いに対して，距離空間上のHerz型Morrey-Musielak-Orlicz空間だけでなく，距離空間上の積分型Morrey-Musielak-Orlicz空間においてもSobolev型の不等式が成り立つことを研究成果として得た．
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