2019 Fiscal Year Research-status Report
変分問題、最適化問題と非線形偏微分方程式の総合的研究
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19K03587
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
倉田 和浩 首都大学東京, 理学研究科, 教授 (10186489)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 変分問題 / パタン形成 / 非一様性 / 凝集現象 / 漸近挙動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
以下の研究および研究実績を挙げた。
（１）パターン形成数理モデルの著名な１つでもあるFitzHugh-Nagumoタイプの反応拡散系に対して、空間非一様性の効果に着目して、空間１次元で２つの安定状態を結ぶヘテロクリニック解の構成とその解の持つエネルギーの詳細な漸近展開公式をに関して得られた研究成果が国内学術雑誌に掲載された。この漸近展開公式は、空間非一様性により、２つの安定状態を遷移する場所が制御されることを表現できてる。梶原堯氏との共同研究である。
（２）大学院生の石井裕太氏との共同研究で、化学反応におけるパターン形成数理モデルとして現れるSchnakenbergモデルに対して、有限距離グラフ上での凝縮定常解の存在証明を行い、距離グラフの形状と凝縮点の位置との関係を明らかにすることに成功した。システムであるが故の非局所的効果が対応するグラフのグリーン関数の言葉を通して理解できることがわかった。現在、その研究成果を論文投稿中である。
（３）柴田将敬氏（東工大）との共同研究で、有限距離グラフ上での非線形楕円型境界値問題の解の凝集現象とグラフの形状との関係を、境界条件による違いも含めて明らかにした。その成果は論文投稿中である。
（４）大学院生の長田祐輝氏との共同研究で、３波相互作用をもつ非線形シュレディンガー系に付随する変分問題のエネルギー最小解の存在、および相互作用の強さを表すパラメータを無限に飛ばした際の、エネルギー漸近展開公式およびエネルギー最小解の漸近挙動に関する研究を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
距離グラフ上での解の凝集現象の解析は、スカラーの非線形楕円型境界値問題においても、Schnakenberg数理モデルのシステムの反応拡散系においても、順調に研究成果を得ることができている。また、３波相互作用をもつ非線形シュレディンガー系に付随する変分問題の研究は、新たに推進課題として進展したもので、今後もさらに研究の推進を計画している。
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続ぎ、形態形成の数理モデルであるGierer-Meinhardt系など、多くのパターン形成数理モデルを距離グラフ上で考えた場合の解の構造の研究を推進することを考えている。
また、３波相互作用をもつ非線形シュレディンガー系の特異摂動問題を考え、解の凝集現象をとらえる研究を計画している。
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