2020 Fiscal Year Research-status Report
変分問題、最適化問題と非線形偏微分方程式の総合的研究
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19K03587
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| Research Institution | Tokyo Metropolitan University |
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Principal Investigator |
倉田 和浩 東京都立大学, 理学研究科, 教授 (10186489)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 変分問題 / パターン形成 / 非一様性 / 凝集現象 / 漸近挙動 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 柴田将敬氏（東工大）との共同研究で，compact metric graph上での典型的な非線形楕円型境界値問題で特異摂動パラメータ領域において，エネルギー最小解のエネルギーの精密な漸近展開を求め，ピークの位置を決定する結果を得た．特に，Neumann境界条件およびDirichlet境界条件のそれぞれに応じた詳細なエネルギー漸近展開公式となっており，境界条件の違いを反映したものとなっている.
2. 大学院生の石井裕太氏とSchnakenberg数理モデルのスパイク状定常解の構成と安定性解析を推し進め, 特にmetric graph上で考察し，多重ピーク形状をもつ定常解の存在を証明する一般論を確立した. さらに，典型的なY字グラフとH字グラフに対して，具体的なグラフの幾何が解のピークの位置に与える影響を明らかにする結果を得た. 特に，単独の偏微分方程式とは異なり，システムならではの非局所的効果が明確に現れた結果となっている.
3. 大学院生の長田祐輝氏との共同研究で，３波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に付随する変分問題におけるポテンシャルの影響を研究し，coupled rearrangement の技法を活用し，軸対称なポテンシャルに対してエネルギー最小解の存在証明を与えるとともに，３波相互作用の強さを表すパラメータを無限に飛ばした際のエネルギーの漸近展開公式を得た.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1.コンパクトなmetric graph上での非線形楕円型方程式およびシステムにおいて，解の凝集する場所とメトリックグラフの幾何学的形状との関係を明確に取り出すことができ，特にシステムならではの効果を明らかにできたことは，大きな成果である.
2. ３波相互作用をもつ非線形シュレディンガー方程式系に付随する変分問題に対するエネルギー最小解の存在問題と解の漸近挙動の研究も順調に進んでいる.
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| Strategy for Future Research Activity |
1. metric graph上での変分問題やパターン形成数理モデルのさらなる研究推進を行い, metric graphのネットワーク構造の解の構造への影響をさらに明らかにしていきたい.
2. 非線形シュレディンガー方程式系に付随する変分問題の解構造をさらに深く研究していきたい.
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| Causes of Carryover |
当該年度は，新型コロナ感染拡大の社会情勢に伴い，研究集会および研究セミナーがすべてオンライン開催となり，旅費の執行ができなかったため, 次年度使用額が生じた.
今年度もコロナ感染拡大の収束がまだ見通せない状況でもあるが，研究集会等の対面での実施が可能になった際の旅費に充てる共に，オンライン研究集会および研究セミナーの積極的な開催を計画して，謝金に充てたい.
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Research Products
(4 results)
