2023 Fiscal Year Research-status Report
Research on the eigenvalues and the eigenfuctions of elliptic partial differential operators with applications to nonliear problems
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19K03588
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| Research Institution | Osaka Metropolitan University |
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Principal Investigator |
壁谷 喜継 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 教授 (70252757)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | Choquard 方程式 / 球対称解 / 連立楕円型偏微分方程式 / Pohozaev value |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は、金属中の自由電子の定常的挙動のを記述する非線形の楕円型連立方程式である Choquard 方程式系にポテンシャル項がついた連立楕円型偏微分方程式の解の構造について研究を行った。
Choquard 方程式系は連立方程式であるため、単独方程式の場合とは扱いがかなり異なる。幸い、この方程式には変分構造が入り、変分的手法（函数解析的手法）が適用できるが、無限遠方では十分速く減衰する解しか捕らえることができない。さらに、Sobolev の埋め込み定理を常用するため、非線形の指数減衰の遅い解は函数解析的に捕らえることは難しい。
しかしながら、球対称解の範疇であれば、連立常微分方程式の解として、減衰の遅い解も捕らえることができる。即ち、原点での値を与えて、常微分方程式の初期値問題を解くことにより、解の挙動を調べることができる。解の挙動を調べるためには、解の無限遠での挙動を、Pohozaev 量と呼ばれる、ある種の Lyapunov 函数というべき量の、無限遠での符号とを対応させることを行う。これは、単独方程式の場合には、既に行われていたことであるが、それを連立方程式に拡張する。そして、Pohozaev 量が、原点からの距離に応じてどのように変化するのかを調べる。
連立方程式の解は符号変化するこなら、 Pohozaev 量は無限遠では正であることが示される。また、Pohozaev 量が無限遠で負の場合は、連立方程式の解は、符号変化を起こさず、しかも減衰が遅いことが示される。これらの Pohozaev 量の基本的な挙動を明確にした後、ポテンシャル関数の挙動と、遅く減衰する解の存在するような非線形べきの指数との関係を解明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ禍で停滞した研究に関する意見交換の減少により、研究の進捗が悪くなってしまった。この遅れを未だ取り戻せていない。また、Choquard 方程式系に関しての線形化問題の研究がまだ系統立ててできているとは言いがたい状況であるため。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は、引き続き Choquard 方程式系にポテンシャル項がついた連立楕円型偏微分方程式の解の構造について研究を行う。研究業績の概要で述べたように、この方程式系には、変分的手法（函数解析的手法）が適用できるが、この解は減衰が速い解になる。減衰が速い解の球対称解の立場からの考察を行う。これは、Pohozaev 量の挙動が、減衰が遅い解とは異なることを用いて、存在、非存在を述べることができると判断している。また、単独方程式の場合、速く減衰する解は、「孤立」していることがよくあるので、 Choquard 方程式系の、速く減衰する解の周りでの線形化問題を考え、どのような状況になっているかを考察する。
これらの目標の達成のため、国内外の研究者を招聘したり、訪問したり、あるいは、京都大学数理解析研究所などでの研究集会に参加するなどして意見交換を行い、さらに、新たな知見を、書籍を購入するなどして手に入れ、研究を推し進める。
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| Causes of Carryover |
コロナ禍は明けたが、学内での管理運営業務が多忙であったため、予定していた出張をいくつか取り消しをした。また、購入したい図書の発行が2023年度は少なかったため、物品費の当初見込みを下回ってしまったため。
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