2019 Fiscal Year Research-status Report
Research on the global structure of solutions and their stability for nonlocal boundary value problems by using elliptic functions
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19K03593
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
四ツ谷 晶二 龍谷大学, 公私立大学の部局等, 研究員 (60128361)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 善久 龍谷大学, 理工学部, 教授 (10192783)
川上 竜樹 龍谷大学, 理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形境界値問題 / 完全楕円積分 / 楕円関数 / 交差拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 極限方程式 / 非局所 / 線形化固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題に関連した以下のような成果をあげた。
１）研究代表者の四ツ谷は，非線形項が解の定積分値で定まる，非局所項を含むノイマン境界条件下での空間１次元アレン・カーン方程式の定常解の大域的分岐曲線の具体的な表示式を求めることに成功した．これまで今一歩のところまで来ていたが，ネックであった一点を，気づきにくい恒等式を用いて突破し，完全楕円積分を用いたパラメータ表示と陰函数表示を得ることができた．この成果は論文として掲載が決定している．解の安定性については，対称な解が安定であることの数学的証明を発見し，講演発表を行ない，論文として投稿中である．
２）分担者の森田は，細胞質と細胞膜の間の反応を考慮したときに導入されるバルクー表面拡散（bulk-surface diffusion) 系の数理モデルにおいて，具体的な領域におけるチューリング不安定性の条件を決定した。パターン形成の理論において基礎的かつ重要な結果として位置付けられる．この成果は論文として出版されている．さらに，半直線上でのフロント波の伝播現象を特徴付ける新しい全域解の存在について証明し，その成果の論文の電子版は公開中で出版される予定である．
３）分担者の川上は，単位球の外部領域における動的境界条件を有する拡散方程式の拡散極限，時空間に依存す非斉次項を有する非線形拡散方程式の大域可解性に関する臨界指数の導出，および，Cartan-Hafamard多様体上のSobolev不等式の考察を行った．これらの成果は論文として掲載が決定している．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的としている非局所項を含む４つの問題のうち，非局所項を含むアレン・カーン方程式については大いに研究が進展し成果を得た．細胞極性の発現の数理モデルついては，今回得られた成果が有用であることがわかってきた．KST交差拡散方程式の極限方程式については，論文発表のために数学的証明の簡略化を行なっている．さらに，供給項をもつ Gierer-Meinhardt 系の shadow system についても検討を進めている．
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| Strategy for Future Research Activity |
非局所項を含むアレン・カーン方程式については，今回得られた分岐曲線の表示式を利用して，２次分岐点の局所的な分岐方向の決定の計算を進めていく．また，非対称解は数値計算結果から不安定と確信しているが，その数学的な証明のためにキーとなるのは，２次分岐した分岐曲線の大局的な単調性である．複雑な計算となると思われるが，これに挑戦していきたい．KST 交差拡散方程式の極限方程式については，２つある極限方程式のうち最も重要な第１方程式に焦点をあてて研究してきたが，最近，第２方程式の研究が進んできており，それらの解はパラメータ動かすとつながっていることが，特殊な場合に数学的にわかってきた．我々は，これは一般的な場合にも言えることと推測している．まず，数値的にそれを調べこの推測を確かめたい．今後，これらに焦点をおきながら研究を推進していく．
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| Causes of Carryover |
交付申請書の令和元年度の直接経費計 900,000円で，品目別内訳は，物品費 200,000円，旅費 500,000円，人件費・謝金 150,000円，その他 50,000円であった．しかし，直接経費支出額計 759,036円で，品目別内訳は，物品費 203,566円，旅費 555,470円，人件費・謝金 0円，その他 0円で，差異は 140,964円である．物品費と旅費は，ほぼ予定通りに使用した．差異の最も大きなもの人件費とその他である．これらの差異の原因は，今年度は理論的部分の検討に思っていた以上の時間を要して，予定していた数値計算を実行できなかったためである．2020年度は数値計算を組織的に行ない新しい事実を発見し，それをもとに数学的な解析をすすめていきたい．これらのために，請求した助成金とあわせて，次年度使用額 140,964円を有効に使う計画である．
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