2021 Fiscal Year Research-status Report
Research on the global structure of solutions and their stability for nonlocal boundary value problems by using elliptic functions
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19K03593
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
四ツ谷 晶二 龍谷大学, 公私立大学の部局等, 研究員 (60128361)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 善久 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (10192783)
川上 竜樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2023-03-31
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| Keywords | 非線形境界値問題 / 完全楕円積分 / 楕円関数 / 交差拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 極限方程式 / 非局所 / 線形化固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
研究課題に関連した以下のような成果をあげた。
１）研究代表者の四ツ谷は，Fixより提案されCaginalpのグループを中心により活発に研究されてきた，合金等の凝固現象を記述する数理モデルの定常解問題の１次元全定常解の大域的分岐ダイアグラムの特徴付けに成功した．この問題は積分制約条件をもつ非局所境界値問題であるため，分岐ダイアグラムの特徴付けは既存の手法では手がかりさえなく，モデル提案から約20年間未解明であった．本研究課題の研究進展の上に立ち，改めて問題を見直したところいくつかの新しいアイデアを付け加えることにより，特徴付けに成功し欧文誌に論文を投稿したところである．また，投稿済の細胞極性の発現の数理モデルの拡散係数を∞とした定常極限方程式に関する論文ついては，修正・加筆原稿を作成して再提出中である．
２）分担者の森田は，狩猟・採集民族から農耕民族への移行を記述する反応拡散系モデルの特異極限問題の研究,非対称細胞分裂モデルの領域を分割する安定パターンの数学的研究,半直線からなる星状メトリックグラフにおけるフロント進行波の伝播とブロッキングを記述する解についての研究という３つの論文を発表した．
３）分担者の川上は，半空間における指数型非線形境界条件を有する熱方程式の可解性と漸近挙動の研究,単位球の外部領域における動的境界条件を有する拡散方程式の拡散極限に関する考察のまとめ,分数冪拡散方程式の高次漸近展開理論の改良を行った.これらに関してはそれぞれ共同研究として論文にまとめ, 既に投稿済みである.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的としている非局所項を含む４つの問題のうち，非局所項を含むアレン・カーン方程式，細胞極性の発現の数理モデルの拡散係数を∞とした定常極限方程式については研究計画通り進展している．さらに，研究進展のおかげで，既存の手法では手がかりさえなくモデル提案から約20年間未解明であった，合金等の凝固現象を記述する数理モデルの定常解問題の１次元全定常解の大域的分岐ダイアグラムの特徴付けに成功した．
交差拡散方程式の極限方程式については，論文発表のために数学的証明の簡略化を引き続き行っている．また，供給項をもつ Gierer-Meinhardt 系の shadow system についても計算を進めている
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| Strategy for Future Research Activity |
非局所項を含むアレン・カーン方程式については，前年度に得られた分岐曲線の表示式を利用し，２次分岐点の局所的な分岐方向の決定の計算を進め論文として発表する．また，非対称解は数値計算結果から不安定と確信しているが，その数学的な証明のためにキーとなる，２次分岐した分岐曲線の大局的な単調性についても計算を進め，精緻化して論文として発表していきたい．さらに，これらの結果を応用して，合金等の凝固現象を記述する１次元数理モデルについても同様の解明を進めたい．
細胞極性の発現の数理モデルの拡散係数を∞とした定常極限方程式の研究成果を応用して，本来のモデルである拡散係数が有限の場合の全定常解の大域的分岐構造を解明したい．
KST 交差拡散方程式の極限方程式については，２つある極限方程式のうち最も重要な第１方程式に焦点をあてて研究してきたが，第２方程式の研究が急速に進展してきたので，関係性を明らかにしたい．さらに，供給項をもつ Gierer-Meinhardt 系の shadow system についても計算をまとめたい．
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| Causes of Carryover |
令和３年度の直接経費計 800,000円で，品目別内訳は，物品費 100,000円，旅費 500,000円，人件費・謝金 150,000円，その他 50,000円であった．しかし，直接経費支出額は計 516,330円で，品目別内訳は，物品費 437,530円，旅費 0円，人件費・謝金 0円，その他 78,800円で，直接経費差異は183,670円である．令和３年度からの繰り越し額の 830,227円と合算して，次年度使用額は 1,113,897円となった．
物品費はほぼ予定通りに使用した．旅費が 0円となったのは，コロナウイルス感染拡大のため，予定していた国際学会が延期となり，さらに，共同研究のための国内外の出張が出来なくなったためである．人件費・謝金とその他の差異の原因は，対面で逐一結果をみながら実行する予定であった数値計算の作業補助等の依頼を，感染拡大防止の観点から自粛したことが理由である．
令和４年度は，感染状況に注意しながら，共同研究のための打合せの出張を行い，数値計算を組織的に行ない新しい事実を発見し，それらをもとに数学的な解析をすすめていきたい．これらのために，請求した助成金と次年度使用額 1,113,897円をあわせて有効に使う予定である．
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