2023 Fiscal Year Annual Research Report
Research on the global structure of solutions and their stability for nonlocal boundary value problems by using elliptic functions
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19K03593
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| Research Institution | Ryukoku University |
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Principal Investigator |
四ツ谷 晶二 龍谷大学, 公私立大学の部局等, 研究員 (60128361)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
森田 善久 龍谷大学, 公私立大学の部局等, 研究員 (10192783)
川上 竜樹 龍谷大学, 先端理工学部, 教授 (20546147)
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| Project Period (FY) |
2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 非線形境界値問題 / 完全楕円積分 / 楕円関数 / 交差拡散方程式 / 反応拡散方程式 / 極限方程式 / 非局所 / 線形化固有値問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
最終年度に実施した研究の成果は次の通りである．
１）研究代表者四ツ谷は，前年度に合金等の凝固現象を記述するために Fix-Caginalp により提案された１次元定常問題のすべての解の大域的分岐ダイアグラムを具体的に求め論文として発表した．この問題は積分制約条件をもつ非局所境界値問題であるために，既存の手法は全く無力であるので，本研究課題の研究進展の上に立ち新しいアイデアを付け加えることにより求めることに成功した．本年度は，拡散係数を零に近づけるときの定常解の線形化安定性に焦点をあて研究した．初期エンタルピーが零の場合に，非局所効果のない場合とは異なり，対称解から非対称解が分岐するが，分岐非対称解は不安定で，分岐点を境に対称解が不安定から安定に変化することを発見し数学的な証明を与えた．昨年夏の国際会議で中間発表を行い，現在，本論文をほぼ書き上げ投稿直前の状況である．
２）分担者森田は，半直線を組み合わせてできる木の形状をもつメトリックグラフ上におけるフロント波の伝播について研究した．複数の枝分かれする点 が存在するがブロックされずに通過する条件等を数学的に与えた．
３）分担者川上は，半空間において動的境界条件を有する非線形熱方程式の解析を目的として, 線形熱方程式の場合の基本解の構成を行なった．
研究期間全体を通じて実施した研究の成果は次の通りである．
研究目的としている非局所項を含む問題のうち，非局所項を含む アレン・カーン方程式，細胞極性の発現の数理モデルの拡散係数 を∞とした定常極限方程式については研究計画以上の成果を得た．さらに，これらの成果を踏まえて，従来未解明で困難と思われていた，合金等の凝固現象を記述する数理モデルの定常解問題の１次元全定常解のすべての大域的分岐ダイアグラムの明解な特徴付けを得ることができた．これにより，安定性の解析も可能となってきた．
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