2019 Fiscal Year Research-status Report
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19K03595
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| Research Institution | Okayama University of Science |
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Principal Investigator |
田中 敏 岡山理科大学, 理学部, 教授 (90331959)
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2019-04-01 – 2022-03-31
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| Keywords | 境界値問題 / 楕円型方程式 / 球対称解 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は楕円型偏微分方程式の正値球対称解の構造について研究を行った。楕円型偏微分方程式において対象を球対称解に限ると問題は常微分方程式に帰着される。これまでの過去の研究にて開発した常微分方程式の２点境界値問題の正値解の一意性についての手法に加えて、Pohozaev の恒等式を利用することにより、円環領域における楕円型方程式の境界値問題の正値球対称解の一意性に関するあらたな結果を導くことができた。
Karamata 関数含む主要部をもつ準線形楕円型方程式方程式系の球状領域における境界値問題の正値球対称解が存在するための十分条件を与えた。その証明方法は次の通りである。まず、blow-up argument と極限系の解の非存在に関する過去の結果を利用して、正値解の a priori 評価を求めた。その際、Karamata 関数の性質がよく利用される。次に問題の零解が孤立しいることを示した。以上のことより、半径の十分大きい関数空間での球では写像度は0であり、零解の近傍での写像度が1であることがわかる。このことにより、非自明解の存在が示され、それが正値解であることもわかる。
ある準線形楕円型方程式は変数変換によって、準線形の自励型常微分方程式系に変換できる。通常、自励系は線形化することにより平衡解の近傍の解の挙動が明らかになることが多い。しかし、今回扱った問題では、その非線形性により、零解のまわりで線形化できない。そのかわりに半分線形系の摂動とみなすことで、零解の近傍の解の挙動を調べることができた。このことを利用して、ある準線形楕円型方程式が無限個の正値特異解をもつことが証明できた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の通り、楕円型方程式に関する３つの結果が得られ、本研究は、おおむね順調に進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は主要部に強い非線形をもつ２点境界問題の解の一意性や楕円型方程式系の境界値問題の解の一意性に取り組む。前者は共同研究の Inbo Sim 氏が先行研究を行っているので、氏と協力して研究を進める。後者は未解決の部分が多い問題で、数少ない過去の文献を精査して問題に挑みたい。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルスの影響により、予定してた出張や国外からの研究者の招へいが延期となったため、次年度使用額が生じた。次年度でそれらを実施する予定である。
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