2022 Fiscal Year Research-status Report
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19K03595
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
田中 敏 東北大学, 理学研究科, 教授 (90331959)
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2019-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 楕円型方程式 / 球対称解 / 正値解 / 一意性 / 準線形 / 解曲線の長さ / 多重存在性 / 精度保証付き数値計算 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一次元 Henon 型方程式の境界値問題の正値対称解の一意性と多重存在性について研究を行った. 問題に含まれるパラメータが特定の狭い範囲の外にあるとき, Pohozaev 型の恒等式を応用することにより, 正値対称解の２個の存在を仮定すると, 矛盾が生じることが証明できる. 残された一意性が不明のパラメータ範囲が狭いことから, すべてのパラメータに対して正値対称解の一意性が成立すると予想されるが, 実際はそうではなく, 残された範囲について数値計算を行うと, ３個の正値対称解が見つかる. 以前から, 以上のことが判明していたが, その多重存在を示す方法を見いだせないままであった. 今回の研究により, 精度保証付き数値計算による計算機援用証明の意味で, 正値対称解の多重存在を証明することができた. 具体的には, 考えている境界値問題の左端点を満たすような初期値問題を考え, その解が考えている区間に零点をもつ, あるいは, もたないという初期値を精度保証付き数値計算によって見つけた. それにより, 零点をもつ初期値ともたない初期値の間に, 境界値問題の解となる初期値が存在することになる. この方法で, ３個の正値偶関数解を見るけることができた.
三次元単位球面内の円環領域上の scalar-field 方程式のディリクレ問題について研究を行った. 領域は三次元単位球面から北極と南極を中心とする同じ大きさの小さな２つの測地球を取り除いた円環領域を考えた. そのような問題の極角にのみ既存する正値解の存在性について考察した. 考えている領域は赤道について対称なので, 問題は赤道で対称な解をもち得る．方程式の非線形項の増大度と赤道で対称な解及び非対称な解の一意性と多重存在性についての関係性を明らかにした.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
新型コロナウイルスの影響により, 年度の前半は, 計画してた研究打ち合わせ, 研究集会の開催及び参加が延期やオンライン開催になった. 年度の後半から, 以前の状態に戻りつつあったが, 前半の影響が大きく, 現在までの進捗状況は, 当初の計画よりやや遅れていると言わざるをえない.
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| Strategy for Future Research Activity |
階段関数をもつ一次元リウヴィル方程式の正値対称解からの対称性崩壊分岐現象について研究を行う. p(x)-Laplace 作用素をもつ楕円型偏微分方程式の球領域における境界値問題の正値解の存在性について研究を行う. 球領域や円環領域のディリクレ条件での p-Laplace 作用素の固有値の漸近挙動について研究を行う.
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| Causes of Carryover |
研究打ち合わせや成果発表のため, 国外への出張や国外からの研究者の招へいを予定していたが, 新型コロナウイルスの影響により, 計画を変更してそれらを延期することとしたため未使用額が生じた. このため, それらを次年度に行うこととし, 未使用額はその経費に充てることとしたい.
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